Financial Intermediation and Delegated Monitoring - APPENDIX(1)

The Review of Economic Studies, Vol. 51, No. 3 (Jul., 1984), pp. 393-414 (22 pages) https://www.jstor.org/stable/2297430

APPENDIX

L-P 모델에 대한 것이다.

중개기관 내부에 있는 agent들의 효용 함수를 $U(W)=-e^{-bW}, \text{ where } b>0$이라고 하자.

Project $i$는 $\tilde{x}_i+\mu_i$의 return을 갖고 있다.

이때, $\tilde{x}i$는 $N(0,\sigma^2{x_i})$인 정규분포이고, $\mu_i$는 기업가와 중개기관만이 알고 있다.(시장 투자자는 모른다.)

시장에 공개될 정보가 주어지면(아직 공개 안됨) → $r$으로 할인된 만큼의 기대치로 시장에서 거래될 것이다.

중개기관은 한 프로젝트에 대한 일부 지분 $\alpha_i$를 보유하고 나머지는 외부에 판매할 것이고, unlimited liability를 발행할 것이다.

(여기에서 unlimited liability(riskless) 라는 뜻은 “채무자가 어떤 식으로든 ‘전부 갚아야 할 의무(무제한 책임)’를 지는 부채 구조 라는 의미”이다. )

중개기관이나 기업가는 프로젝트의 가치에 대한 사적 정보를 가지고 있으므로, 역선택 문제가 발생한다. 이는 $\alpha_i$를 통해서 구분 가능하다

• Notiation

  • $\alpha_i$: 중개기관이 한 프로젝트에 대해서 들고 있는 지분
  • $\mu_i(\alpha_i)$: market’s valuation schedule. $\mu_i$는 $\alpha_i$에 의해 결정된다는 것을 표현함.
    • 기업가가 프로젝트에서 얼마만큼의 지분을 유지할지를 선택하면, 시장은 그 선택을 바탕으로 해당 프로젝트의 숨겨진 품질이나 리스크를 추정합니다. 이때 그 추정된 가치가 바로 valuation schedule에 의해 결정됩니다.
  • $V_i(\alpha_i)$: 평가 일정 $\mu_i(\alpha_i)$에 의해 결정되는 project $i$에 대한 시장 가치
    • $V_i(\alpha_i)=\mu_i(\alpha_i)/(1+r)$
  • $W_0$: 중개자의 초기 자산
  • $\tilde{M}$: 시장 포트폴리어의 랜덤 수익률
  • $\beta$: 중개자가 보유한 시장 포트폴리오의 비율
  • $V_M$: 시장 포트폴리오의 가격
  • $K_i$: 프로젝트에 필요한 초기 지출
    • 프로젝트를 시작하는데 필요한 비용
  • $D_i$: 프로젝트에 대해 발행된 무위험 부채의 현재 가치
    • promise to pay $D_i(1+r)$
  • $r$: 무위험 이자율
  • $W_1$: 중개자의 최종 자산 가치
  • $\sigma^2_{w_1}$: 최종 자산의 분산

• 중개자는 $E[\tilde{W}i]-(b/2)\sigma^2{w_i}$를 극대화 해야 한다.

  이 식은 중개자의 의사결정 목표를 “확실 대안(certificate equivalent)”으로 나타낸 것으로, 위험을 고려한 평균-분산 효용 극대화 문제에서 유도됩니다. 그 유도 과정을 단계별로 설명하면 다음과 같습니다.

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  1. 위험 회피를 나타내는 지수형(Exponential) 효용 함수 가정

  중개자가 위험 회피 성향을 가진다고 가정할 때, 대표적인 효용 함수로 $U(W) = -e^{-bW}$ 를 사용합니다.

  여기서 $W$는 최종 부(wealth)이고, $b>0$는 위험회피 정도(위험 회피 계수)를 나타냅니다.

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  2. 부가 정규분포를 따른다고 가정

  만약 최종 부 $W$가 평균 $\mu = E[W]$와 분산 $\sigma^2 = \sigma^2_W$를 가진 정규분포를 따른다고 가정하면, 지수형 효용함수와 정규분포의 특성으로 인해 기대 효용은 다음과 같이 계산됩니다.

  $$
  E[U(W)] = E\bigl[-e^{-bW}\bigr] = -\exp\Bigl(-b,E[W] + \frac{1}{2}b^2,\sigma^2_W\Bigr)
  $$

  • 이 식은 지수형 효용과 정규분포의 모멘트 생성 함수(moment generating function)의 성질을 이용한 결과입니다.

    정규분포를 따르는 확률변수 $W \sim N(\mu,\sigma^2)$에 대해, 모멘트 생성 함수 $M_W(t) = E[e^{tW}]$가 왜

    $$
    M_W(t)=\exp\left(t\mu+\frac{1}{2}t^2\sigma^2\right)
    $$

    가 되는지, 단계별로 유도해 보겠습니다.

    ---

    1. $W$의 확률밀도함수(PDF)

    $W$가 평균 $\mu$와 분산 $\sigma^2$를 갖는 정규분포를 따른다면, 그 PDF는

    $$
    f(w)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(w-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
    $$

    입니다.

    ---

    2. 모멘트 생성 함수의 정의

    모멘트 생성 함수는

    $$
    M_W(t)=E[e^{tW}]=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tw},f(w),dw
    $$

    로 정의됩니다. 즉,

    $$
    M_W(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(tw-\frac{(w-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)dw.
    $$

    ---

    3. 지수 함수 결합 및 변수 치환

    먼저, 지수 함수들을 하나의 지수로 합칩니다.

    $$
    M_W(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(tw-\frac{(w-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)dw.
    $$

    여기서 변수 치환 $x=w-\mu$를 하면,

    • $dw=dx$,

    • $tw = t(x+\mu)=tx+t\mu$,

    • $(w-\mu)^2=x^2.$

      따라서 적분은

      $$
      M_W(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma},e^{t\mu}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(tx-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)dx.
      $$

    ---

    4. 지수부 완전제곱식 만들기

    적분 내의 지수부는

    $$
    tx-\frac{x^2}{2\sigma^2}.
    $$

    이를 완전제곱형으로 바꾸기 위해, 먼저 다음과 같이 쓰면

    $$
    tx-\frac{x^2}{2\sigma^2} = -\frac{1}{2\sigma^2}\left(x^2-2t\sigma^2x\right).
    $$

    여기서 $x^2-2t\sigma^2x$를 완전제곱식으로 나타내면,

    $$
    x^2-2t\sigma^2x=\Bigl(x-t\sigma^2\Bigr)^2-t^2\sigma^4.
    $$

    따라서,

    $$
    tx-\frac{x^2}{2\sigma^2} = -\frac{1}{2\sigma^2}\left[\Bigl(x-t\sigma^2\Bigr)^2-t^2\sigma^4\right] = -\frac{\Bigl(x-t\sigma^2\Bigr)^2}{2\sigma^2}+\frac{t^2\sigma^2}{2}.
    $$

    ---

    5. 적분식에 대입

    위 결과를 다시 적분식에 대입하면,

    $$
    M_W(t)=\frac{e^{t\mu}}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(x-t\sigma^2)^2}{2\sigma^2}+\frac{t^2\sigma^2}{2}\right)dx.
    $$

    지수부의 t2σ22\frac{t^2\sigma^2}{2}는 xx에 관한 상수이므로, 적분 밖으로 빼낼 수 있습니다.

    $$
    M_W(t)=\frac{e^{t\mu+\frac{t^2\sigma^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(x-t\sigma^2)^2}{2\sigma^2}\right)dx.
    $$

    ---

    6. 가우시안 적분 계산

    이제 남은 적분은

    $$
    \int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(x-t\sigma^2)^2}{2\sigma^2}\right)dx.
    $$

    이 적분은 $x$에 대해 평균 $t\sigma^2$, 분산 $\sigma^2$인 정규분포의 비정규화된 밀도 함수의 적분입니다. 정규분포의 밀도 함수

    $$
    \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-t\sigma^2)^2}{2\sigma^2}\right)
    $$

    의 전체 적분값은 1이므로,

    $$
    \int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(x-t\sigma^2)^2}{2\sigma^2}\right)dx = \sqrt{2\pi}\sigma.
    $$

    ---

    7. 최종 결과 도출

    적분값을 대입하면,

    $$
    M_W(t)=\frac{e^{t\mu+\frac{t^2\sigma^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}\sigma}\cdot\sqrt{2\pi}\sigma = e^{t\mu+\frac{t^2\sigma^2}{2}}.
    $$

    따라서,

    $$
    E\left[e^{tW}\right] = \exp\left(t\mu+\frac{1}{2}t^2\sigma^2\right),
    $$

    라는 결과를 얻습니다.

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### 3. 확실 대안(Certainty Equivalent) 정의

확실 대안 CE는 “확실히 CE만큼의 부를 가졌을 때, 효용이 $E[U(W)]$와 같아지는 부의 수준”을 의미합니다. 즉,

$$
U(CE) = E[U(W)].
$$

지수형 효용함수를 대입하면,

$$
-e^{-b\,CE} = -\exp\Bigl(-b\,E[W] + \frac{1}{2}b^2\,\sigma^2_W\Bigr).
$$

양변의 음(-)을 없애고, 지수함수의 형태를 비교하면,

$$
e^{-b\,CE} = \exp\Bigl(-b\,E[W] + \frac{1}{2}b^2\,\sigma^2_W\Bigr).
$$

양쪽에 자연로그를 취하면,

$$
-b\,CE = -b\,E[W] + \frac{1}{2}b^2\,\sigma^2_W.
$$

양변을 $-b$로 나누면,

$$
CE = E[W] - \frac{b}{2}\,\sigma^2_W.
$$

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