The Review of Economic Studies, Vol. 51, No. 3 (Jul., 1984), pp. 393-414 (22 pages) https://www.jstor.org/stable/2297430
APPENDIX
### 4. 중개자의 최적화 문제 해석
위 결과에서 $CE = E[W] - \frac{b}{2}\sigma^2_W$는 중개자가 위험을 감안한 “실질적인” 기대 부를 나타냅니다.
즉, 중개자는 단순히 기대 부 $E[W]$만을 극대화하는 것이 아니라, 분산(위험)에 대한 페널티 $\frac{b}{2}\,\sigma^2_W$를 차감한 값을 극대화하려고 합니다.
따라서, 중개자의 최종 목표는
$$
E[\tilde{W}_i] - \frac{b}{2}\,\sigma^2_{w_i}
$$
를 극대화하는 것입니다. 여기서 는 i번째 프로젝트 혹은 거래 후 중개자의 최종 부를, $\sigma^2_{w_i}$는 그 부의 분산(위험)을 의미합니다.
이와 같이, 중개자의 효용을 단순 기대 부와 위험(분산)에 대한 페널티의 차이로 표현할 수 있고, 그 결과가 바로 $E[\tilde{W}_i] - \frac{b}{2}\,\sigma^2_{w_i}$이다.budget constraint는 다음과 같다
$$
W_0+\alpha_1D_1+\alpha_2D_2+(1-\alpha_1)V_1(\alpha_1)+(1-\alpha_2)V_2(\alpha_2)-K_1-K_2-\beta V_M-Y=0
$$
Final wealth is
$$
\tilde{W_1}=\alpha_1[\tilde{x}_1+\mu_1-(1+r)D_1]+\alpha_2[\tilde x_2+\mu_2-(1+r)D_2]+\beta \tilde M+(1+r)Y
$$
위 식을 아래 식에 대입하면 다음과 같이 나타난다:
$$
\tilde W_1=\alpha_1[\tilde x_1+\mu_1-\mu_1(\alpha_1)]+\alpha_2[\tilde x_2+\mu_2 -\mu_2(\alpha_2)]+\beta \tilde M+(1+r)(W_0-K_1-K_2)+\mu_1(\alpha_1)+\mu_2(\alpha_2)-\beta(1+r)V_M - [A1]
$$
optimal한 $\alpha_1, \ \alpha_2, \ \beta$값인 $\alpha_1^, \ \alpha_2^, \ \beta^*$는 다음 식들을 만족한다.
$$
[\mu_1-\mu_1(\alpha_1^)]+(1-\alpha_1^)\mu_{\alpha_1}(\alpha_1)-\alpha_1b\sigma^2_{x_1}=0 - [A2]
$$
$$
[\mu_2-\mu_2(\alpha_2^)]+(1-\alpha_2^)\mu_{\alpha_2}(\alpha_2)-\alpha_2b\sigma^2_{x_2}=0
$$
$$
[E[\tilde M]-(1+r)V_M]-\beta b\sigma^2_M=0 - [A3]
$$
완전 분리 균형 하에서는 $\mu_i(\alpha_i)=\mu_i$, 세 식들 중에서 위의 두 식을 풀면…
"완전 분리 균형"은 정보의 비대칭이 있는 시장에서, 에이전트들이 자신의 개인 정보를 신호로 전달하여 시장이 그들의 유형을 정확히 구분할 수 있는 상태
$$
(1-\alpha_i)\mu_{\alpha_i}(\alpha_i)=b\alpha_i \sigma^2_{x_i}, \ \text{for} \ i=1, 2
$$
바로 위의 식을 풀면
$$
\mu_i(\alpha_i)=-b\sigma^2{x_i}[\text{log}(1-\alpha_i)+\alpha_i]+(1+r)K_i - [A4]
$$
상세 풀이
중개자는 $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\beta$를 선택하여 목표 함수를 최대화합니다. 이를 위해 각 변수에 대해 편미분을 계산하고 0으로 설정합니다. $\alpha_1$에 대한 최적 조건은 (식 A4):
$$
[\mu_1 - \mu_1(\alpha_1)] + (1 - \alpha_1) \mu_{\alpha_1}(\alpha_1) - \alpha_1 b \sigma_{x_1}^2 = 0
$$여기서 $\mu_{\alpha_1}(\alpha_1) = \frac{d \mu_1(\alpha_1)}{d \alpha_1}$입니다. 마찬가지로 $\alpha_2$에 대해서도 유사한 식이 도출됩니다 (식 A5).
완전 분리 균형에서는 시장이 정확히 추론하므로 $\mu_i(\alpha_i) = \mu_i$가 성립합니다. 이 조건을 (A4)에 대입하면:
$$
[\mu_1 - \mu_1] + (1 - \alpha_1) \mu_{\alpha_1}(\alpha_1) - \alpha_1 b \sigma_{x_1}^2 = 0
$$$$
(1 - \alpha_1) \mu_{\alpha_1}(\alpha_1) = \alpha_1 b \sigma_{x_1}^2 \quad (식 , A7)
$$1. 미분 방정식 풀이
식 (A7)은 $\mu_1(\alpha_1)$에 대한 1차 미분 방정식입니다:
$$
\int d \mu_1(\alpha_1) = b\sigma^2_{x_1}\int \frac{\alpha_1}{1 - \alpha_1}d\alpha_1
$$$$
\mu_1(\alpha_1) = -b \sigma_{x_1}^2 \left[ \log(1 - \alpha_1) +\alpha_1\right] + C
$$여기서 $\int \frac{1}{1 - x} dx = -\log|1 - x| + C$
2. 상수 $C$ 결정
경계조건: $\mu(0)=(1+r)K$
이는 초기투자 비용을 아낄 수 있기 때문이다.
$$
\therefore \mu_1(\alpha_1) = -b \sigma_{x_1}^2 \left[ \log(1 - \alpha_1) +\alpha_1\right] + (1+r)K
$$
여기에 임의의 상수도 필요하지만, 0을 갖게 될 것이다. 그러면, 프로젝트의 시장 가치는 다음과 같다
$$
V_i(\alpha_i)=\frac{1}{1+r}[-b\sigma_{x_i}^2[\text{log}(1-\alpha_i)+\alpha_i]]+K_i
$$
단순하게, i.i.d한 프로젝트를 가정하며, $\mu_1=\mu_2=\mu, \ \sigma^2_{x_1}=\sigma^2_{x_2}=\sigma^2_x$ 이라고 하자.
agent들이 $\alpha/2$씩 들고 있다면… $\text{mean}=\mu/2, \ \text{variance}=\sigma^2_x/4$ → 전체 프로젝트: $\mu, \ \sigma^2_x/2$
이제, 분산의 변화에 기대 효용이 어떻게 변화는지 살펴보자.
$$
\frac{dE[U(\tilde W_1)]}{d\sigma^2_x}=\frac{dE[\tilde W_1]}{d\sigma^2_x}-\frac{b}{2}\frac{d\sigma^2_{W_1}}{d\sigma^2_x} -[A5]
$$
식 [A1]에 $E[\tilde x_i]=0$이므로 $dE[\tilde W_1]/d\sigma^2_x=0$
전체 부의 분산을 살펴보면…
$$
\tilde W_1=\alpha \tilde x + \beta \tilde M \
\sigma^2_{W_1}=\text{VaR}(\alpha \tilde x + \beta \tilde M) \
=\alpha^2\sigma^2_x+\beta^2\sigma^2_M \
\frac{d\sigma^2_{W_1}}{d\sigma_x^2}=\frac{d}{d\sigma^2_x}(\alpha^2\sigma^2_x+\beta^2 \sigma^2_M)
$$
$$
\frac{d\sigma^2_{W_1}}{d\sigma^2_x}=2\sigma^2_x \alpha \frac{d\alpha}{d\sigma^2_x}+\alpha^2 \frac{d\sigma_x^2}{d\sigma^2_x}+\frac{d(\beta^2\sigma^2_M)}{d\sigma^2_x}-[A6]
$$
Inspecting [A2] and [A3], $d(\beta^2\sigma^2_M)/d\sigma^2_x=0$, and by definition $d\sigma^2_x/d\sigma_x^2=1$.
$$
\frac{d\sigma^2_{W_1}}{d\sigma_x^2}=\alpha^2+2\alpha\sigma^2_x \frac{d\alpha}{d\sigma^2_x}
$$
In equilibrium $\mu(\alpha)=\mu$ 식 A4에 함수 정리를 적용하면
$$
\frac{d\alpha}{d\sigma^2_x}=-\frac{d\mu(\alpha)/d\sigma_x^2}{d\mu(\alpha)/d\alpha}=\frac{(1-\alpha)[\text{log}(1-\alpha)+\alpha])}{\alpha\sigma^2_x}
$$
식 A5, A6에 넣으면
$$
\therefore \frac{dE[U(\tilde W_i)]}{d\sigma^2_x}=-b \left[ (1-\alpha)[\text{log}(1-\alpha)+\alpha]+\frac{\alpha^2}{2} \right]<0
$$
$\alpha \in (0,1)$이렇게 정의되기 때문에 음수가 된다.
즉, 위험($\sigma_x^2$)이 커짐에 따라 기대 효용이 감소한다는 뜻이다.
음수가 되는 원인은 ‘Signalling is costly”하기 때문이다. 이는 부실한 위험의 공유 때문이며, 리스크가 거의 없는 경우에는 비용이 거의 없다.
따라서, diversification by subdividing risks can serve as a basis for viable financial intermediation in a L-P setting
은행가 한 명당 은행의 전체 분산 $\sigma^2_x/N$이 0에 수렴하기 때문이다.
한편, 동일하고 독립적인(i.i.d.) 프로젝트를 ‘더 많이 추가하는 식’의 분산(diversification)은, 위험회피 계수가 일정(constant absolute risk aversion)한 b를 가진 단일 중개인이 이 i.i.d. 프로젝트들을 추가로 자신의 포트폴리오에 편입하는 방식으로 모델링할 수 있다. (A2)와 그 아래 식을 살펴보면, 다른 독립적 프로젝트에서 비롯된 항들이 전혀 등장하지 않으므로 a₁ = a₂가 된다. 이는 효용함수가 지수형(exponential)이기 때문에, 이미 존재하는 i.i.d. 프로젝트들로 인해 추가 프로젝트에 대한 위험회피 정도가 달라지지 않음을 뜻한다. 다시 말해 이 방식으로는 규모가 커져도 비용상의 이점을 얻기 어렵다. 따라서 같은 i.i.d. 프로젝트를 ‘추가로 더 담는’ 식의 분산은 L-P 모델에서 실현 가능한 금융중개 기반이 되지 못한다.
길고 길었다.....힘들다.....
(열심히 쓰니까 게시글이 복사가 되기는 하더라...)