Financial Intermediation and Delegated Monitoring - 4(3)

The Review of Economic Studies, Vol. 51, No. 3 (Jul., 1984), pp. 393-414 (22 pages) https://www.jstor.org/stable/2297430

4. Risk aversion and diversification

Two types of diversification

2. 중개 기관이 다수의 기업가를 감시하는 단일 행위자로 구성한다고 가정하는 경우

이번에는 $\tilde{x}_1$이 이미 agent의 부의 일부라고 생각하고, $x_2$가 도입 되었을 때의 증분에 대한 간접 효용 함수 $V(x_2)$라고 하면 다음의 식으로 정의된다.

$$
V(x_2)=E_{\tilde{x}_1}[U(W_0+\tilde{x}_1+x_2)]
$$

이 것도 von Neuman-Morganstern 이며, $x_2$는 확률 변수가 아니므로 risk premium이 필요가 없다.

그렇다면, $\tilde{x}1+\tilde{x}_2$의 위험을 감수하는 agent의 기대 효융값은 $E{\tilde{x}_2}[V(\tilde{x}_2)]$ 일 것이다.

다음 식은 무작위 부 $\tilde{x}_1$을 더했을 때의 평균 위험회피계수가, 초기 자산 $W_0$에서의 위험회피계수보다 작다는 식이다.

$$
-\frac{E_{\tilde{x}1}[U''(W_0+\tilde{x}_1)]}{E{\tilde{x}_1}[U'(W_0+\tilde{x}_1)]} < -\frac {U''(W_0)}{U'(W_0)}
$$

위의 식을 만족한다면 $\rho_{1+2}<\rho_1+\rho_2$을 만족한다는 뜻이다.

• 위 식은 $-U''(W)$가 오목하고, $U'(W)$가 볼록할 경우 성립한다. 또는, $U''''(W)\geq0$이거나, $U'''(W)\geq0$일 경우 성립한다.

  Jensen의 불평등식을 다시 되짚어보자.

  Jensen의 불평등식은 다음과 같이 정의된다:

  • 함수 $f$가 볼록(convex)이면: $E[f(X)] \geq f(E[X])$,

  • 함수 $f$가 오목(concave)이면: $E[f(X)] \leq f(E[X])$.

    현재, $E_{\tilde{x}_1}[\tilde{x}_1] = 0$이라고 가정하였으므로, $E[W_0 + \tilde{x}_1] = W_0$가 성립

  ---

  $U'$이 볼록한 함수이고, $-U''$가 오목한 함수 이려면

  이때, $U(W)$가 증가하는 오목한 함수이므로, $U'(W)>0, \ U''(W)<0$인 사실을 기억하자.

  그리고, 함수 $f(x)$가 오목하다는 조건은 $f''(x)<0$이어야 한다. 볼록한 함수는 그 반대이다.

  (1) $U'(W)$

  • $U'' < 0$: 이미 알고 있다.

  • $U''' > 0$일 경우에 함수 $U'(W)$의 함수는 감소하는 볼록한 함수이다.

    (2) $-U''(W)$

  • $-U''' < 0$: 위에서 가정하였다.

  • $-U''''<0$일 경우에 함수 $U''(W)$의 함수는 감소하는 오목한 함수이다.

  ---

  Jensen의 불평등식 적용

  이제 분자와 분모에 Jensen의 불평등식을 적용

  (1) 분모: $E[U'(W_0 + \tilde{x}_1)]$

  • $U'$는 볼록 함수이므로:

    $$
    E_{\tilde{x}1}[U'(W_0 + \tilde{x}_1)] > U'(E{\tilde{x}_1}[W_0 + \tilde{x}_1]) = U'(W_0),
    $$

  • $U' > 0$이므로, 양쪽 모두 양수

    (2) 분자: $E[U''(W_0 + \tilde{x}_1)]$

  • $U''$는 볼록 함수이므로:

    $$
    E_{\tilde{x}_1}[U''(W_0 + \tilde{x}1)] > U''(E{\tilde{x}_1}[W_0 + \tilde{x}_1]) = U''(W_0).
    $$

  • strictly convex, strictly concave function은 등호가 성립하지 않는다.

  • $U'' < 0$이므로, $U''(W_0) < E[U''(W_0 + \tilde{x}_1)] < 0$ 이며, 음의 부호를 붙이면

    $$

  • E[U''(W_0 + \tilde{x}_1)] < -U''(W_0).
    $$

  ---

  비율 비교

  즉, 살펴보려고 하는 식에서:

  $$
  -\frac{E_{\tilde{x}1}[U''(W_0+\tilde{x}_1)]}{E{\tilde{x}_1}[U'(W_0+\tilde{x}_1)]} < -\frac {U''(W_0)}{U'(W_0)}
  $$

  분자는 오른쪽이 더 크고, 분모는 왼쪽이 더 크기 때문에 이 부등식이 성립한다.

즉, $\tilde{x}1$을 incremental 한 효용함수의 absolute risk aversion이 초기 자산 효용 함수의 absolute risk aversion보다 작기 때문에, $E{\tilde{x}_1}[\tilde{x}_1]=0$인 gamble을 추가 하더라도 “위험 회피 성향이 줄어든다”

하지만?

하지만, 우리가 했던 가정 중에서 $E_{\tilde{x}_1}[\tilde{x}_1]=0$은 타당하지 않다. (Arrow-Pratt measure of absolute risk aversion도 이 가정을 사용했다.)

왜냐하면, 기대 수익률이 없으면 중개인이 왜 투자를 하겠는가.

즉, $E_{\tilde{x}_1}[\tilde{x_1}]>0$이어야 하며, 이는 ‘평타 이상은 치겠지?’라는 생각과 평균적인 자산의 증가를 가져온다.

이를 고려하기 위해서 자산이 증가함에 따라 risk aversion에 대해서 감소한다는 조건이 필요하다.

자산이 증가함에 따라 위험 회피도(risk aversion)가 감소하려면? → $A'(W)<0$ 조건을 만족해야 함.

$$
\begin{align}
A'(W) &= \frac{d}{dW} \left( -\frac{U''(W)}{U'(W)} \right) \
&= -\frac{U'''(W)U'(W)-U''(W)U''(W)}{(U'(W)^2} \
&= -\frac{U'''(W)U'(W)-(U''(W))^2}{(U'(W)^2}
\end{align}
$$

여기에 $A'(W)<0$ 조건을 도입하면,

$$
U'''(W)U'(W)-(U''(W))^2>0 \
U'''(W)U'(W)>(U''(W))^2 \
\therefore U'''(W)>\frac{U''(W)^2}{U'(W)}
$$

The condition for decreasing absolute risk aversion at a point $W$ is

$$
U'''(W)>\frac{U''(W)^2}{U'(W)}>0
$$

여기에서 0보다 크다는 것은 분자와 분모 모두 양수이기 때문인데, 특히 효용 함수가 증가하는 함수이기 때문에 $U'(W)>0$ 이다.

아무튼 위 조건에 $U''''(X)\geq0$를 포함하면 diversification by adding risks to reduce the risk premium이라는 것에 충분한 조건을 갖는다.

두 개의 위험(N = 2)인 경우에 대해 제시한 조건들이, 실제로는 두 개 이상의 독립 위험이 존재하는 상황(N > 2)에서도 그대로 확장된다.

• $U'''(\cdot)\geq0$ 이면 $V'''(\cdot)\geq0$ 이고, $U''''(\cdot)\geq0$이 성립하면 $V''''(\cdot)$이다.
• Pratt(1964, Theorem 5)의 결과를 확장하면, 만약 $-{U''(W)}/{U'(W)}$가 해당 영역에서 감소하는 함수라면, $-{V''(W)}/{V'(W)}$ 역시 감소한다고 한다.

따라서, 추가적인 gamble($E_{\tilde{x}1}[\tilde{x}_1]=0$)이 추가되면, $\rho{1+2+3} < \rho_{1+2} + \rho_3 < \rho_1 + \rho_2 + \rho_3$이 성립하여 여러 개의 독립 위험을 더할 때도 분산 효과가 계속 발생하기 때문에 risk premium이 줄어들 것이다.