Financial Intermediation and Delegated Monitoring - 4(2)

The Review of Economic Studies, Vol. 51, No. 3 (Jul., 1984), pp. 393-414 (22 pages) https://www.jstor.org/stable/2297430

4. Risk aversion and diversification

Two types of diversification

2. 중개 기관이 다수의 기업가를 감시하는 단일 행위자로 구성한다고 가정하는 경우

• 기본 개념

  • $N$이 증가할 수록 총 위험은 증가하지만(”adding risks”), 개별 위험은 감소한다.

  • 위험 추가 방식은 기대 효용을 항상 증가시키지 않는다.(대수의 오류 - N. Samuelson (1963))

    → 대수의 오류?(fallacy of large numbers)

    • 어떤 특정한 큰 표본에서도 오차나 변동성이 완전히 사라진다는 보장을 하지 않음
    • 실제 표본에서는 극단치나 드문 사건, 체계적인 편향이 존재할 수 있음
    • 많은 수의 데이터를 취합하면 안정적이라고 맏어, 예측이나 통계적 결론에 과도한 신뢰를 가지게 될 수 있음

  • “Certainty Equivalent”

    • 확실 등가(certainity equivalent)란 불확실한 결과를 가진 투자나 복권 등 위험을 내포한 선택안과 비교할 때, 그 선택안으로부터 얻을 것으로 기대되는 효용과 동일한 효용을 제공하는 확실한 금액
    • 즉, 어떤 위험한 투자 대신에 "이 정도의 확실한 금액을 받는다면" 투자자가 무차별적일지를 나타내는 금액

  • 그렇다면, $N=2$일 때 개별 자산의 certainty equivalent(per asset certainty equivalent)가 $N=1$일 때보다 언제 증가 할까?

• 만약 추가되는 각 위험(N번째 위험)이 중개기관에게 가져다 주는 위험 부담이 계속해서 크게 작용한다면, 중개기관은 감시 업무를 수행하기에 너무 높은 위험 프리미엄(또는 대리 비용)을 부담하게 됨

  • 즉, 추가적인 위험 ($N$번째 위험)이 전체 위험 부담에 미치는 영향이 $N$이 커질수록 줄어들어야 함.

• 중개기관이 대출자보다 감시와 위험 분담 측면에서 경쟁력을 가지려면, 추가되는 각 독립 위험에 대해 느끼는 위험 부담(즉, 위험회피 정도)이 N이 증가함에 따라 점차 감소해야 함

  • 이건 대수의 오류가 아닐 경우임

$\text{risk premium of }(\tilde{g}_1+\tilde{g}_2) \leq \text{risk premium of } \tilde{g}_1 + \text{risk premium of } \tilde{g}_2$ 이 부등식이 언제 만족할까?

• $\tilde{g}$ : 기업가 → 중개기관
• 각각의 기대값 $E[\tilde{g}]$은 $R+K$이상 이어야 한다.
  • $R$ 은 예금자에게 약속한 수익률, $K$는 중개기관이 사용하는 감시 비용이기 때문이다.
• $E_{\tilde{g}_1}[\tilde{g}_1] = R+K$이라고 가정하자.
• $x_i \equiv g_i -R-K$이라고 정의하자.
  • 이것은 중개기관이 감시 계약을 체결하여 얻을 수 있는 수익금일 것이다…!
  • 일단, $E_{\tilde{x}_1}[\tilde{x}_1] = 0$이라고 가정하자.
• 위험 회피 성향을 갖고 있는 Agent는…
  • 네 번 미분 가능하고 증가하며
  • 엄격하게 오목한 von Neuman-Morganstern 효용 함수 $U(W)$를 갖고 있고
  • 초기 자산은 $W_0$이다.
• 확률 변수 $\tilde{x}_1, \ \tilde{x}_2$는 bounded, independent하다.
• risk premium : $\rho_i$

다음을 만족한다.

$$
E_{\tilde{x}i}[U(W_0+\tilde{x}_i+\rho_i)]=U(W_0+E{\tilde{x}_i}[\tilde{x}_i])
$$

• 위 식이 왜 만족되어야 할까?

  ‘Jensen's inequality(젠센 부등식)’에 의한 것이다.

  “볼록함수 $f$와 적분가능한 확률 변수 $X$에 대해, $E[f(X)] \geq f(E[X])$가 성립한다.”

  즉, 다음과 같이 된다: $E_{\tilde{x}i}[U(W_0+\tilde{x}_i)]\leq U(W_0+E{\tilde{x}_i}[\tilde{x}_i])$ ← 여기서의 효용 함수는 오목 함수임을 기억하자.

  이는 '불확실한 소득의 효용함수의 기대값'보다 '확실한 소득의 효용함수의 값'이 더 크다는 뜻

  즉, 이를 같아지도록 만들기 위해 $\rho_i$라는 risk premium을 붙여서 등호를 성립하도록 하는 것임.

이와 동일하게 $\rho_{1+2}$는 $\tilde{x}_1+\tilde{x}_2$의 risk premium 이라고 한다면 다음을 만족한다.

$$
E_{\tilde{x}1}E{\tilde{x}2}[U(W_0+\tilde{x}_1+\tilde{x}_2+\rho{1+2})]=U(W_0+E_{\tilde{x}1}[\tilde{x}_1]+E{\tilde{x}_2}[\tilde{x}_2])
$$

$\rho_{1+2}<\rho_1+\rho_2$를 만족할 경우에 risk를 더해도 risk premium은 줄어든다.

If $\tilde{x}_2$ is a small gamble, its risk premium is proportional to the Arrow-Pratt measure of absolute risk aversion or $-U''(W_0)/U'(W_0)$,

• $\tilde{x}_2$가 작은 불확실한 위험이라면, 그 위험 프리미엄은 그 개인의 절대적 위험회피 정도에 비례한다.

• 그 비례하는 정도는 Arrow-Pratt 위험회피 지수에 비례한다.

  Arrow-Pratt 절대적 위험회피 지수(Absolute Risk Aversion)는 “현재 부(wealth) $W$ 근처에서, 작은 규모의 불확실성이 효용에 어떻게 영향을 미치는가”를 2차 근사(테일러 전개)로 살펴보는 과정에서 유도됩니다. 다음과 같은 순서로 살펴보면 이해하기 쉽습니다.

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  1. 문제 설정: 작은 불확실성(도박) 고려

  • 위험회피 개인이 현재 부를 $W$만큼 가지고 있다고 합시다.
  • 아주 작은 불확실한 금액 $\tilde{x}$ (예: 평균이 0이고 분산이 $\sigma^2$인 작은 도박)를 고려합니다.
  • 개인의 효용함수는 $U(\cdot)$라 할 때, $\tilde{x}$가 등장하기 전(기확정 부)와 후(불확실한 부)의 기대효용 차이를 2차 근사하여, “작은 위험에 대해 개인이 어떤 위험 프리미엄을 요구하는가”를 살펴볼 수 있습니다.

  ---

  2. 효용 함수의 테일러 전개

  기대효용 $E[U(W + \tilde{x})]$를 $W$ 근처에서 2차 테일러 전개하면 다음과 같이 근사할 수 있습니다.

  $$
  E[U(W + \tilde{x})]
  \approx U(W) + U'(W),E[\tilde{x}] + \frac{1}{2}U''(W),E[\tilde{x}^2] \ + \ \text{(3차 이상의 항은 무시)}.
  $$

  만약 $\tilde{x}$의 기대값이 0이라고 가정하면 $E[\tilde{x}]=0, \ E[\tilde{x}^2]=\sigma^2$ 이므로,

  $$
  E[U(W + \tilde{x})]
  \approx U(W) + \frac{1}{2}U''(W) \ \sigma^2
  $$

  ---

  3. 위험 프리미엄과 위험회피 지수

  (1) 위험 프리미엄의 정의

  • 위험 프리미엄(risk premium): 사람이 불확실한 상황 $\tilde{x}$ 대신, 그 기대값(여기서는 0원)을 확실하게 받더라도 심리적으로 추가로 “얼마만큼”을 더 요구하는지를 의미합니다.

  • 구체적으로, “불확실성을 제거하고 싶다면, 얼마만큼의 금액을 포기(또는 더 받아야) 하나?”가 위험 프리미엄이 됩니다.

    (2) “확실한 금액”을 이용한 등가 조건(무차별 조건)

    도박 $\tilde{x}$를 받지 않고 대신 “risk premium ($RP$) 만큼 부를 조정”했다고 합시다.

    도박의 기댓값이 0이므로,

  • “조정 전 부”: $W$

  • “도박을 받아들일 때의 기대효용”: $E[U(W + \tilde{x})]
    \approx U(W) + \frac{1}{2}U''(W) \ \sigma^2$

  • “도박 대신 부에서 RP만큼 차감(or 추가)한 확실한 부”: $W-RP$

    도박과 확실한 조정의 효용이 같으려면,

    $$
    U(W - \text{RP})
    ;=;
    E[U(W + \tilde{x})].
    $$

    여기서 $\text{RP}$의 부호가 “얼마만큼 ‘더’ 받아야 하는지” 혹은 “얼마를 포기해야 하는지”를 결정합니다(위험회피인 경우, 일반적으로 양의 값).

    (3) Risk Premium 구하기

  1. 좌변의 테일러 근사

     위 식 좌변을, “$W$ 근처에서” 1차 테일러 전개하면,

     $$
     U(W - \text{RP})
     ;\approx;
     U(W)
     ;-; \text{RP},U'(W).
     $$

  2. 좌변, 우변 연결

     따라서 무차별 조건

     $$
     U(W) - \text{RP},U'(W)
     ;=;
     U(W) + \tfrac{1}{2} ,U''(W),\sigma^2.
     $$

     에서 $U(W)$ 양변 소거 후,

     $$

  -,\text{RP},U'(W)
  ;=;
  \tfrac{1}{2} ,U''(W),\sigma^2.
  $$

  이고, 이를 $\text{RP}$에 대해 정리하면

  $$
  \text{RP}
  ;=;
  -,\frac{\frac12,U''(W),\sigma^2}{U'(W)}
  ;=;
  \frac{-,U''(W)}{U'(W)}
  ;\cdot;
  \frac{\sigma^2}{2}.
  $$

  (4) Arrow-Pratt 절대적 위험회피 지수

  • 이때 등장하는 비율 $A(W)
    ;=; -,{U''(W)}/{U'(W)}$

    를 절대적 위험회피 지수(Absolute Risk Aversion)라고 부릅니다.

  • 즉, 위험 프리미엄이 “현재 부 $W$에서의 위험회피 지수 $A(W)$에 비례”하게 된다.

    $$
    \text{(위험 프리미엄)} ;\approx; A(W)\frac{1}{2\sigma^2},,
    $$

---

결국, **Arrow-Pratt 위험회피 지수**는 “특정 부 $W$ 수준에서, 작은 규모의 위험에 직면했을 때, 그 위험을 회피하기 위해 얼마만큼의 대가를 더 요구하게 되는가”를 정량화한 척도라고 볼 수 있습니다. 이 지표가 클수록 같은 위험에 대해서도 더 큰 위험 프리미엄을 요구하게 되고, 작을수록 요구하는 위험 프리미엄이 적어집니다.

...너무 길다. 다음 게시글에서 계속 살펴보자.