Financial Intermediation and Delegated Monitoring - 3(2)

The Review of Economic Studies, Vol. 51, No. 3 (Jul., 1984), pp. 393-414 (22 pages) https://www.jstor.org/stable/2297430

3. Delegated Monitoring by a Financial Intermediary

Diversification and the viability of intermediation

• 중개기관이 독자적으로 생존하기 위해서는…
  • 예금자는 기대수익률 $R$을 무조건 받아야 한다.
  • monitoring cost $-$ deadweight penalties $\geq 0$
  • 기업가 입장에서도 직접 금융보다 이점이 있어야 함.
• 경제에 있는 모든 사람들이 위험 중립적이라고 가정하자.
  • 모든 계약의 최적성을 평가할 때에는 계약에 내재된 비용만 고려하면 됨.
  • 즉, 감시 비용과 파산 비용의 합을 최소화 하도록 하는 것이 최적인 계약임.
• 각 기업가에 드는 위임 비용 $D_N$은 단조 감소 함수이다.
  • 페널티는 분포 $\tilde{y}$에서 매우 결과가 좋지 않을 때에만 발생할 것이다.
  • 이는 여러 기업가에게 분산하면 할수록 당연히 감소할 것이다.
    • perfect correlation이 아닌 경우.
  • 이에 대한 증명은 Footnote 3에 있다.
  • 기업가의 수가 무한대로 커지면 $D_N \rightarrow0$
  • 감시 하는데에 드는 전체 비용($K+D$)은 물리적 모니터링 비용 $K$만 남게 된다.

명제 2 (Proposition 2)

감시하는 기업가 한 명당 대리 비용인 $D_N$은, 기업가들의 프로젝트 수익이 한계가 있고 독립적으로 분포되어 있을 경우, 기업가의 수 $N$이 무한대로 갈 때에 0으로 접근한다.

기업가가 중개기관에게 주는 수익금의 기대값($E_{\tilde{g}_i}[\tilde{g}_i]$)은 다음과 같다

$$E_{\tilde{g}_i}[\tilde{g}_i]=R+K+D_N, \quad \text{where } D_N>0 \text{ is a real number}$$

• $R$ : 경쟁이자율
• $K$ : 감시비용(중개기관이 지불하는 비용)
• $D_N$ : 위임 비용(예금자가 중개기관에 주는 각 기업가에 드는 위임 비용)

$i$ 번째 기업가의 기대 수익률:

$$E_{\tilde{g}_i}[\tilde{g}_i]-R-D_N$$

• 도대체 이 식은 왜 있을까.
• 이거 위 식에 의하면 $K$임. 근데 왜 이게 기업가의 기대 수익률이 맞을까? $E_{\tilde{y}i}[\tilde{y}_i]-E{\tilde{g}_i}[\tilde{g}_i]$ 가 아닐까…?

non-pecuniary bankruptcy penalties of the intermediary

$$\Phi_N(Z_N)=\text{max}[(Z_N-H_N), 0], \quad \text{where} \ H_N=N \cdot (R+D_N/2)$$

이때 중개인은 예금자에게 다음과 같은 양의 돈($Z_N$)을 줄 것이다.

$$Z_N = \begin{cases} G_N &\text{if } \ G_N\leq H_N\ H_N &\text{if } \ G_N>H_N \end{cases}$$

Expected return of the intermediary

$$E_{\tilde{G}_N}(\tilde{G}_N)-H_N-NK=[N\cdot (R+K+D_N)]-[N\cdot (R+ \frac{D_N}{2})]-NK=\frac{1}{2}ND_N>0$$

이는 처음 식과 $H_N$의 정의를 이용하면 쉽게 계산이 가능하다.(들어온 돈 - 나가는 돈 - 감시비용)

마지막 부등호는 $N, \ D_N$ 모두 양수이기 때문이다.

Aggregate expected return to depositors

$$P_N \cdot E_{\tilde{G}_N}[\tilde{G}_N \vert G_N\leq H_N] + (1-P_N)\cdot H_N, \quad \text{where} \ P_N \equiv P(\tilde{G}_N \leq H_N)$$

당연한 식이다.($P_N$은 중개인이 예금자에게 약속한 금액보다 지급한 금액이 낮을 확률이다)

위 식에서 다음과 같은 하단을 설정할 수 있을 것이다(2항(2nd term)만 사용한다.):

$$\begin{align} (1-P_N)\cdot H_N&=(1-P_N)N(R+\frac{1}{2}D_N)\ &=NR+\frac{1}{2}ND_N-P_N(NR+\frac{1}{2}ND_N)>NR \end{align}$$

마지막 부등호는 다음의 조건에서 만족한다.

$$P_N\in \left( 0,\frac{D_N/2}{R+D_N/2} \right)$$

계산 해보면 자동으로 나온다.

왜 $NR$보다 커야 할까?

전체 예금자들의 수입액의 최소값은 $N$개의 기업에서 최소 $R$의 수익률을 챙길 수 있어야 기업가들에게 투자할 것이기 때문.

여기에서 $E_{\tilde{G}_N}[\tilde{G}_N]>H_N$ 이 성립할 것이다.

→ 중개인이 받을 수 있는 확률분포의 평균 값이 예금자에게 주는 허들 금액 $H_N$보다 클 것이기 때문

그렇기 때문에 $N$이 충분히 크다면 $P_N$은 0에 수렴할 것이다. 이는 다음을 만족할 것이다.

$$\frac{D_N/2}{R+D_N/2} \rightarrow 0\ \therefore D_N \rightarrow 0$$

따라서, $N$이 충분히 크다면 위임 비용 $D_N$은 거의 없어진다.

• 중개인은 예금자에게 지급해야 할 금액이 부족할 경우 발생하는 모든 페널티를 스스로 부담합니다. 이 “전적인 책임” 때문에, 중개인은 외부로부터 추가적인 감시를 받지 않아도 됩니다.
• 포트폴리오가 분산되면 개별 프로젝트의 불확실성이 상쇄되어, 전체적으로 예금자에게 지급해야 할 금액이 부족해질 가능성이 매우 낮아집니다.
• 중개인이 수집한 정보는 외부에 공개되지 않고 오직 중개인만이 확인할 수 있습니다. 이는 추가적인 감시 비용이나 정보 노출로 인한 문제를 방지하는 역할을 합니다.

특히, 다음의 경우에서 중개 기능이 타당해진다.

$$D_N \leq \text{min} \left[ E_{\tilde{y}}[\phi^*(\tilde{y})], mK \right]$$

즉, 위임 비용이 개별 감시를 했을 때 와 페널티 비용(파산 비용)보다 낮을 경우에 중개 기능이 타당해진다.

만약, 프로젝트들이 동일한 분산을 가지고 있다면, 기대 위임 비용은 $N$의 함수로 단조적으로 감소할 것이다.

인센티브 계약은 파산 페널티와 높은 레버리지로 이루어진 부채 계약이다.

• $N$이 커지면 리스크는 점근적으로 사라진다.
• 부채의 face value : $H(N) = N\cdot (R+D_N/2)$
• 부채의 미래 가치 : $N\cdot (R+D_N + K)$
• 여기서 잠깐. 그래서 왜 $H(N) = N\cdot (R+D_N/2)$이어야 할까?

예금자의 기대 수익 조건

예금자들이 받는 기대 수익 $E[Z_N]$은 다음과 같이 계산된다:

$$E[Z_N] = P(G_N \leq H_N) \cdot E[G_N \mid G_N \leq H_N] + P(G_N > H_N) \cdot H_N$$

중개자의 기대 수익과 참여 제약

중개기관의 총 수익의 기대값:

$$E[G_N] = N \cdot (R + K + D_N)$$

중개기관의 순 기대 수익:

$$E[G_N] - H_N - N \cdot K \geq0$$

이 0보다 커야 중개기관이 존재할 의미가 생긴다.

$E[G_N] = N \cdot (R + K + D_N)$을 대입하면:

$$N \cdot (R + K + D_N) - H_N - N \cdot K \geq 0 \implies N \cdot (R + D_N) - H_N \geq 0 \implies H_N \leq N \cdot (R + D_N)$$

---

$H_N = N \cdot \left( R + \frac{D_N}{2} \right)$의 설정

• 예금자 기대 수익 확인:

$$E[Z_N] = P(G_N \leq H_N) \cdot E[G_N \mid G_N \leq H_N] + P(G_N > H_N) \cdot H_N$$

$N$이 커질수록 $G_N$의 분포는 대수의 법칙에 따라 $E[G_N] = N \cdot (R + K + D_N)$에 수렴

이때 $N$이 커질수록 $P(G_N > H_N)$이 1에 가까워지므로 $E[Z_N]\approx H_N$이 된다. 이 값은 $NR$보다 크거나 같아야 한다.

• 중개자 순 기대 수익 확인:

$$E[G_N] - H_N - N \cdot K = N \cdot (R + K + D_N) - H_N - N \cdot K=NR+ND_N-H_N>0$$

$$H_N<N(R+D_N)$$

$$\therefore NR<H_N<N(R+D_N)$$

위 부등식을 만족해야 하며, $H_N=N\left( R+\frac{1}{2}D_N \right)$은 이 식을 만족한다.