Journal of Political Economy, Vol. 91, No. 3 (Jun., 1983), pp. 401-419
https://www.jstor.org/stable/1837095
2. The Bank's Role in Providing Liquidity
경제학자들은 오랫동안 요구불 예금이 은행이 비유동 자산을 유동 자산으로 전환하는 역할을 수행하는 수단이라는 직관을 가지고 있었습니다.
이러한 역할에서 은행은 대리인들이 가장 필요할 때 소비할 수 있도록 허용하는 보험을 제공하는 것으로 볼 수 있습니다.
유동성 수요의 근본적인 원인이 비대칭 정보에 있다는 것을 모델을 통해 확인해보자.
모형의 기본 구조
생산기술(투자)의 특성
$T=0, \ 1, \ 2$의 세 시점으로 구성되며, 단일 균질 재화(single homogeneous good)가 존재합니다.
→ single homogeneous good: 모든 단위가 동일한 특성을 지닌 단일 상품
output은 $T=2$에 $R>1$만큼 된다고 하자.
$T=1$에 조기회수 하려면, 초기에 투자한 가치만큼 돌려받는다고 하자.
그러면 현금 흐름은 다음과 같이 될 것이다.
$$
\begin{array}{c c c c c}
T=0 & \rightarrow& T=1 &\rightarrow & T=2 \
& & 0 & \rightarrow & R \
& \nearrow & & & \
-1 & & & & \
& \searrow& & & \
& &-1 & \rightarrow & 0 \
\end{array}
$$
즉, 조기회수에 대한 선택은 $T=1$에서만 이루어진다.
만약 생산이 $T=1$에 중단되면, 오직 초기 투자액만 회수할 수 있게 되어 – 이는 ‘조기 청산’ 시 낮은 산출을 의미합니다.
이 기술 구조는 장기 투자(또는 자산 보유)가 어느 정도 비가역적(irreversible)임을 시사하며, 은행이 보유한 자산이 본질적으로 유동성이 낮다는 점을 강조합니다.
소비자(예금자)에 관한 구조
- 모든 소비자(예금자)는 초기 시점 $T=0$ 에 동일한 부를 가짐.
- 다른 시점에는 고정된 소득이 없습니다
- 소비자들은 $T=1$ 시점에 돈이 필요하게 됨을 알게 되고, 두 유형으로 나뉜다.
- 유형 1 (조기 소비자): $T=1$에 소비를 필요로 함
- 조기 인출이 필요한 예금자
- 유형 2 (후기 소비자): $T=2$에 소비를 원함
- 만기까지 기다릴 수 있는 예금자
- 그러니까, $T=0$과 $T=1$ 사이에서는 돈을 가져가지 않음.
- 유형 1 (조기 소비자): $T=1$에 소비를 필요로 함
- 소비 재화를 비용 없이 개인적으로 저장(비축)할 수 있음
- 공개적으로 관찰 불가능
- $c_T$를 기간 $T$에 소비자가 받은 재화라고 하자.
- 공개적으로 관찰 가능
- $c_1$: $T=1$에 받는 재화(소비 또는 저장)
- $c_2$는 $T=2$에 받는 재화
모든 소비자는 위험회피적 성향을 지닌 동일한 형태의 효용 함수를 갖고 있습니다. 중요한 것은 상태 의존적 효용 함수(state-dependent utility)로, 자신의 유형에 따라 소비를 평가한다는 점입니다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같습니다:
유형 1인 경우: $U(c_1,c_2; \text{type1}) = u(c_1)$
유형 2인 경우: $U(c_1,c_2; \text{type2}) = \rho u(c_1 + c_2)$
$1\geq\rho> R^{-1}$
utility function $u$
$R_{++}\rightarrow R$
twice continuously differentiable
increasing $u'(x) > 0$
strictly concave (위험회피)
satisfies Inada conditions Inada Conditions
$$
u'(0)=\infty, \ u'(\infty)=0
$$Inada 조건과 위험회피 조건은 최적 소비분배가 내부해(interior solution)가 되도록 보장합니다.
상대적 위험회피도(coefficient of relative risk aversion) : $-{cu''(x)}/{u'(x)}>1$
소비자는 기대 효용 $E[u(c_1,c_2;\Theta)]$를 maximize 해야 함
예금자 중에서 $t\in(0,1)$의 비율 만큼 유형1이다.
- each agent has an equal and independent chance of being of type 1
- 이번 section에서는 $t$를 constant로 가정하자.
시장을 통한 직접 운용 (은행 부재 시)
초기 투자
우선 은행이 없고 개개인이 스스로 투자 결정을 내리는 경쟁시장 균형을 생각해봅시다
$T=0$ 시점에 모든 소비자는 동일하고 미래에 유동성이 필요하게 된 시기도 모두 같을 것으로 예상되므로, 사람들은 사적 위험에도 불구하고 일단 각자 1 단위를 전부 생산기술에 투자할 것입니다.
경쟁시장과 계약의 특성
- 모형에서는 소비자들이 자산(즉, 미래 재화에 대한 청구권)을 직접 보유하고, 각 시기마다 미래 소비에 대한 청구권을 거래할 수 있는 완전 경쟁시장이 존재한다고 가정합니다.
- 이때 소비자들이 작성하는 계약은 미래에 관한 어떠한 조건(예를 들어, 미래의 정보)에 의존하지 않는 “비조건부(Noncontingent)” 계약입니다. 이는 공공으로 확인 가능한 정보가 없기 때문입니다.
가격 결정: 일정수익 기술의 결과
- 생산 기술이 일정수익(constant returns) 성질을 가지므로, 각 시기의 재화 가격이 자연스럽게 정해집니다.
- 구체적으로, 시기 0에서 시기 1 소비의 가격은 1이고, 시기 0과 시기 1에서 시기 2 소비의 가격은 $R-1$로 결정됩니다.
- 이 가격은 모든 소비자가 동일한 생산 기술에 접근하고, 동일한 내재 자원을 보유하기 때문에 나옵니다.
동일한 투자 결정과 무거래 상태
- 시기 0에 모든 소비자가 동일한 상태(동일한 내재 자원과 동일한 기술)를 가지고 있으므로, 모두 동일한 방식으로 거래를 하고 투자합니다.
- 결과적으로 개별 소비자가 직접 생산했을 때와 동일한 소비 결과를 얻으므로, 시장에서 별도로 거래를 통해 개선된 결과를 얻을 수 없습니다. 즉, 거래를 통해 이득을 볼 여지가 없어서 무거래 상태가 됩니다.
최종 소비 선택: 유형에 따른 차이
- 모형에서는 소비자들이 T=1에 자신의 “유형(type)”을 알게 됩니다.
- 유형 1은 T=1에 소비를 원하는 소비자이므로, 생산을 중단하고 시기 1에 1단위를 소비합니다.
- 유형 2는 T=2에 소비를 선호하므로, 시기 1에서는 소비하지 않고 생산을 계속하여 시기 2에 $R$ 단위를 소비합니다.
- 즉, 최종적으로 유형 1은 $c_1=1, \ c_2 = 0$의 소비를, 유형 2는 $c_1=0, \ c_2 = R$의 소비를 선택하게 됩니다.
full-information optimum
만약 $T=1$에 각 개인의 유형이 공공정보로 관찰 가능하다면, 사회적으로 유형 간 보험을 제공하여 모두의 ex ante(사전) 효용을 높일 수 있습니다.
즉, 사회계획자 혹은 완전한 계약시장이 존재하여 유형 1과 유형 2 사이에 적절한 소비 분배가 가능해짐.
이 경우 $T=1$에 유형 2의 소비를 줄이고(또는 0으로 만들고), 그 자원을 유형 1에게 더 많이 배분함으로써, 유동성 충격을 받은 사람들을 도울 수 있을 것입니다.
즉, 최적 계약은 다음의 식이 성립되어야 한다:
$$
c_1^{2}=c_2^{1}=0
$$
그리고, marginal rate of substitution은 다음과 같다:
$$
u'(c_1^{1})=\rho Ru'(c_2^{2})
$$
여기서 $u'(\cdot)$는 효용 함수의 한계효용을 나타내며, $\rho R$은 미래 소비에 대한 상대적 가중치(또는 할인율의 역할)를 반영합니다.
- 즉, 유형 1 소비자가 시기 1에서 한 단위를 소비할 때 얻는 만족과, 유형 2 소비자가 시기 2에서 한 단위를 소비할 때 얻는 만족(할인 후)이 동일해지도록 조정해야 한다는 의미입니다.
- 이 조건은 최적의 위험 분담에서 서로 다른 시기에 소비하는 두 그룹의 소비자 간에 한계효용이 균형을 이루어야 함을 보장합니다.
전체 자원 제약 조건(Resource Constraint)는 다음과 같다:
$$
tc_1^{1}+\Big[(1-t)c_2^{2}/R\Big]=1
$$
경제 전체의 내재 자원은 각 소비자가 시기 0에 1단위씩 보유한 것으로 주어집니다.
$t$는 전체 소비자 중 시기 1에 소비를 원하는 (즉, 유형 1인) 소비자의 비율을 나타내며, $1-t$는 시기 2에 소비를 원하는 (유형 2인) 소비자의 비율입니다.
유형 1 소비자는 직접 $c_1^{1}$만큼 소비하고, 유형 2 소비자는 시기 2에 소비하는데, 이때 생산기술의 특성 때문에 $R$배의 산출을 얻으므로, 실제로는 $R$만큼 할인한 ${c_2^{2}}/R$만큼 자원이 소모되는 것으로 계산됩니다.
이 제약 조건은 전체 내재 자원(1)이 두 유형의 소비자에게 적절하게 분배되어야 함을 의미합니다.
가정에 따라 $\rho R>1$이고, 효용 함수의 상대적 위험 회피 정도가 1보다 크므로 (즉, 효용함수가 충분히 오목하므로) 최적 소비 수준은 다음과 같은 성질을 가집니다.
유형 1: $c_1^{1*}>1$
(즉, 시기 1 소비량은 단순히 자기 내재 자원 1단위보다 많아야 함)
유형 2: $c_2^{2*}<R$
(즉, 시기 2 소비량은 직접 1단위를 투자하여 R배의 산출을 얻는 경쟁시장 결과보다는 낮아야 함)
최적의 보험 계약은 소비자들이 불리하게 유형 1(즉, T=1에 소비해야 하는 불운한 상황)에 해당할 경우, 그 불이익을 보험으로 보완할 수 있게 해줍니다.
- 소비자의 유형에 대한 정보가 공개되어있지 않다면, 불가능함!
- 다행히도, 자신에게 맞는 계약을 스스로 선택하여 이론적으로는 최적 계약을 구현할 수 있다.
Traditional demand deposit contract
은행은 유동성을 제공함으로써, 만기 이전에 자금을 인출할 경우에도 합리적인 수익을 보장할 수 있습니다.
이 보험 기능이 실제로 어떻게 작동하는지 설명하기 위해, 먼저 전통적인 수요예금 계약을 살펴봅니다.
전통적인 요구불예금 계약
- 소비자가 $T=0$에 예금을 하면, $T=1$에 인출할 경우 단위당 고정된 금액 $r_1$을 받는 계약.
- 인출 요청은 자산이 다 사라지기 전까지 순서대로 처리됨
- 각 예금자가 임의의 시간에 인출하는 상황을 이산모형에서 모사하기 위함
- 예금자에게 돌려주는 돈은 sequential service constraint를 만족함.
- 예금자가 줄 서 있는 순서에만 의존해야 함.
은행은 기간 2에 청산되며, 기간 1에 돈을 인출하지 않은 예금자들은 기간 2에 은행 자산을 비례적으로 분배된다고 하자.
- $V_1$은 $T=1$에 인출된 예금 단위당 지급액으로, 각 예금자가 줄 서 있는 순서에 따라 달라집니다.
- $V_2$는 $T=2$에 인출하지 않은 예금 단위당 지급액으로, $T=1$에 인출된 총 예금액에 따라 결정됩니다.
그러면 다음과 같이 지급액이 결정될 것이다:
$$
\begin{align}
V_1(f_j,r_1)=\begin{cases}
r_1 \ \text{if }f_j<r^{-1}\
0 \ \text{if }f_j\geq r^{-1}
\end{cases}
\
V_2(f,r_1)=\max\left[R\frac{1-r_1f}{1-f}, \ 0 \right]
\end{align}
$$
주요 변수 및 개념
- $f_j$ : 특정 예금자 $j$보다 먼저 인출 요청을 받아 서비스된 예금액의 비율
- $f_j$는 전체 수요예금 중에서 이미 인출 처리된 부분의 비율로, 각 예금자의 “줄 서 있는 순서”가 반영됩니다.
- $f$ : T=1 시점에 실제로 인출된 전체 수요예금의 비율
- 이는 은행의 자산이 얼마나 빨리 소진되는지를 나타내며, 나중에 $T=2$에 지급되는 금액에도 영향을 줍니다.
- $w_1$ (또는 $w_j$) : 각 예금자가 $T=1$에 인출을 시도하는 예금액의 비율
- 예금자마다 보유한 예금 중 일정 부분($w_1$)을 $T=1$에 인출하려고 신청하고, 나머지 $1-w_1$는 $T=2$까지 남겨두게 됩니다.
소득(소비) 계산
- 유형 1 소비자의 경우
T=1에 소비를 원하는 특성을 가집니다. 즉, 이들은 가능한 한 빨리 예금을 인출하여 소비하려고 합니다.
한 단위 예금에 대해 $T=1$에 인출할 때 받는 소비액 : $w_1V_1(f_j,r_1)$
$w_1$: 해당 예금자가 인출하려고 시도하는 비율입니다.
$V_1(f_j,r_1)$: 예금자가 T=1에 인출할 때, 자신의 줄 순서 ($f_j$)와 계약 조건(고정 지급액 $r_1$)에 따라 받는 단위당 지급액을 나타냅니다.
해설:*
유형 1 소비자는 전체 예금 중 $w_1$만큼을 인출하고, 그 인출된 금액은 자신의 줄 순서에 따라 $V_1$만큼 지급되므로, 결국 한 단위 예금당 $w_1V_1(f_j,r_1)$만큼 소비하게 됩니다.
- 유형 2 소비자의 경우
특징:
유형 2 소비자는 $T=2$에 소비를 선호합니다. 이들은 $T=1$에는 일부만 인출하고, 나머지는 $T=2$까지 남겨둡니다.
소비 계산식:
한 단위 예금에 대해, 유형 2 소비자가 얻는 총 소비액은 두 부분으로 나뉩니다:
T=1에 인출하는 부분: $w_1, V_1(f_j, r_1)$
T=2에 인출하는 부분: $(1 - w_1), V_2(f, r_1)$
그래서 총 소비는
$$
w_1, V_1(f_j, r_1) + (1 - w_1), V_2(f, r_1)
$$로 주어집니다.
$V_2(f, r_1)$: $T=2$에 인출하는 경우, 전체 인출 비율 $f$와 계약 조건 $r_1$에 따라 지급되는 단위당 지급액을 나타냅니다.
해설:*
유형 2 소비자는 자신의 예금 중 $w_1$ 만큼은 $T=1$에 인출하여 $V_1$에 따라 소비하고, 나머지 $1-w_1$은 $T=2$에 인출하여 $V_2$에 따라 소비합니다. 따라서, 두 시기의 인출액이 합산되어 총 소비액을 결정하게 됩니다.
Equilibrium Decisions
수요예금 계약은 완전한 정보가 있다고 가정했을 때의 최적 위험 분담 결과를 하나의 균형(Nash equilibrium)으로 실현할 수 있습니다.
즉, 은행이 소비자들의 유형을 몰라도, 소비자들이 적절히 행동한다면 이상적인 보험 계약의 효과를 낼 수 있다는 뜻입니다.
여기서 말하는 균형(equilibrium)은 항상 순수전략 내시 균형(pure strategy Nash equilibrium)을 의미합니다.
또한, 모든 소비자들이 시기 0에 반드시 예금해야 한다고 가정
$c_1^{1*}$는 완전한 정보 하에서 최적의 위험 분담을 할 때, 유형 1 소비자가 $T=1$에 소비해야 하는 이상적인 소비량입니다.
따라서, 만약 $r_1$이 $c_1^{1*}$와 같다면, $T=1$에 인출할 때 소비자들이 받는 지급액이 최적 소비량과 일치하게 되어, 최적 위험 분담이 이루어집니다.
만약 계약 조건 $r_1=c_1^{1*}$가 성립한다면,
- 유형 1 소비자는 $T=1$에 예금을 인출하는 것이 최선의 선택
- 유형 2 소비자 $T=1$에는 인출하지 않고 기다리는 것이 최선의 선택
이 상태가 optimal risk sharing임.
다른 균형상태(Nash Equilibrium)가 있는데, 이것은 “bank run” 상황임
- 만약 소비자들이 모두 $T=1$에 동시에 인출할 것이라고 예상된다면, 불안감에 빠진 모든 소비자들이 일제히 예금을 인출하려고 시도하게 됩니다.
- 결과적으로, 은행은 보유 자산이 빠르게 소진되어, 모든 소비자가 동시에 인출하는 상황이 발생하게 됩니다.
- 이러한 상황에서는 개별 소비자가 언제 인출하든지 상관없이, 모두 $T=1$에 인출하는 것이 최선의 전략이 됩니다.
예금액의 face value가 은행 자산의 liquidation value보다 크기 때문에 bank run이 발생한다.
It is precisely the 'transformation' of illiquid assets into liquid assets that is responsible both for the liquidity service provided by banks and for their susceptibility to runs.
은행이 뱅크런에 취약한 구조는 이러한 자산 변환 과정에 기인한다.
- 만약 $r_1>1$인 경우
- 예금 계약서상 약속된 지급액이 보유할 때보다 크기 때문에 소비자들은 인출시에 더 큰 이득을 기대하게 됨.
- 이 경우, 불안감이 생기면 모두가 인출하려 하여 뱅크런이 발생할 수 있으며, 이는 하나의 내쉬 균형이 됩니다.
- $r_1=1$인 경우
- $T=1$에 인출할 때 지급되는 금액이 $l$로 고정됨.
- 이렇게 됨 : $V_1(f_j, 1) < V_2(f, 1)$
- 즉, $T=1$에 인출하는 것보다 $T=2$에 인출하는 것이 항상 더 나은 결과를 주게 됩니다.
- 그래서 소비자들은 $T=1$에 인출할 유인이 줄어들어, 뱅크런이 발생하지 않습니다.
- 하지만 은행의 계약이 단순히 직접 자산을 보유하는 것과 동일한 결과를 주게 됨.
- 경쟁시장에서 거래하는 것
- 은행이 유동성 변환을 통해 제공할 수 있는 추가적인 이점이 사라지게 됩니다.
- 결국, 이 경우에는 은행의 역할이 경쟁시장과 차별화되지 않으므로, 개선된 위험 분담이나 유동성 서비스 효과를 얻을 수 없습니다.
뱅크런에 취약하지 않은 수요예금 계약은 은행이 제공하는 유동성 서비스의 본질적인 역할을 하지 못한다
은행에서 발생하는 뱅크런(예금자가 모두 동시에 인출하는 상황) 균형에서는, 모든 소비자들이 은행에 예금을 맡겼을 때보다 더 열악한 자원 배분 결과를 받게 됩니다.
만약 소비자들이 은행에 맡기지 않고 직접 자산을 보유한다면, 위험(risk)을 감수하지 않고 확실한 수익을 얻게 됩니다.
뱅크런은 소비자들 간의 최적의 위험 분담을 무너뜨리고, 전체 생산 효율성에도 부정적인 영향을 미칩니다.
문제는 소비자들이 한 번 예금을 맡긴 후에는, 나중에라도 뱅크런이 발생할 것이라는 예상을 자극하는 어떤 요인이라도 있다면, 실제로 모든 소비자가 동시에 인출하게 되어 뱅크런이 발생한다는 점입니다.
위의 문제로 인해, 전통적인 수요예금 계약만을 제공하는 은행들은 소비자 신뢰를 유지하는 데 매우 민감해집니다.