Financial Intermediation and Delegated Monitoring - 2(2)

The Review of Economic Studies, Vol. 51, No. 3 (Jul., 1984), pp. 393-414 (22 pages) https://www.jstor.org/stable/2297430

2. A SIMPLE MODEL OF FIRM BORROWING - 2

최적 계약 : 대출자에게 최소 $R$의 수익률을 보장하면서, 기업가의 기대 수익률을 최대화 하는 것.

→ 최소 $R$의 수익률을 보장하지 않으면, 대출자는 투자하지 않을 것임.

• $\phi$ : 비 금전적 페널티 함수(non-pecuniary penalty function)
  • 음이 아닌 실수 → 음이 아닌 실수
  • depend on $z$
  • $z$값이 달라져도 차이가 없다면, 대출자에게 선호되는 값을 선택한다.(가장 큰 값)
• $\phi^*\geq0$ : 페널티가 있는 최적 계약 (optimal contract with penalties)
  • random variable $\tilde{y}$에서 대출자에게 줄 돈인 $z$를 빼고, 비 금전적 페널티 $\phi$를 뺀 값을 최대화 하는 $z$를 기업가는 대출자에게 제안해야 한다.
  • 이때 $z\in[0,\tilde{y}]$ 이라는 사실은 앞에서 했었다.
  • 앞에 있는 $E_{\tilde{y}}$는 random variable $\tilde{y}$ 의 평균을 의미한다.
  • 이 상태에서 $E_{\tilde{y}}[\text{max}_{z\in[0,\tilde{y}]} \tilde{y}-z-\phi(z)]$를 극대화 하는 $\phi$를 찾는 최적화 문제를 풀어야 함.
    • 즉, 벌칙을 최소화 하면서 최대의 이익을 가져올 수 있도록 해야 함.
  • $z\in \text{arg max}_{z\in [0, y]} y-z-\phi(z)$
    • 대출자에게 돌려주는 금액인 $z$이 어떻게 결정되는지 설명하는 식.
    • $z$값은 기업가 자신에게 최대의 이익( $y-z-\phi(z)$)을 가져다 주는 값이 된다는 의미.
  • $E_{\tilde{y}}[\text{arg max}_{z\in[0,\tilde{y}]} \tilde{y}-z-\phi(z)]\geq R$
    • 결국, $z$값이 최소 $R$의 수익률을 가져야 한다는 의미.
    • 확률변수 $\tilde{y}$값의 실현 값에 따라서 여러 $z$가 기업가에게 최대의 이익이 되는 값이 될 텐데
    • 이에 대해서 평균적인 $z$의 값이 최소 $R$의 수익률 이상인 값이어야 대출자들이 투자에 참여를 한다는 의미.
• $ \phi^*=\text{max}{\phi(\cdot)}E{\tilde{y}}[\text{max}_{z\in[0,\tilde{y}]} \tilde{y}-z-\phi(z)]$

명제(Proposition) 1

• 위 식에 대한 해답을 논문에서는 다음과 같은 식으로 제시했다.
  • $\phi^* = \text{max}(h-z,0)$
    • 이 형태는 창업자가 지급액을 인위적으로 낮추어 depositors의 요구수익을 충족시키지 못할 경우, 그에 따른 손실(즉, 추가 비용)이 발생함으로써 올바른 행동을 유도하게 만듭니다.
  • where $h$(문턱 수익률이라고 하면 편할듯 하다.) is the smallest solution to
    • $(P(\tilde{y}<h)\cdot E_{\tilde{y}}[\tilde{y} \vert y<h])+(P(\tilde{y}\geq h)\cdot h)=R$
    • 이거 그냥 기대수익률이다.
      • $\tilde{y}<h$ : 기업자는 실현된 $\tilde{y}$. 즉, $y$만큼 상환하게 된다.
      • $\tilde{y}\geq h$ : 기업자는 무조건 $h$ 만큼 상환한다.
      • 각각의 $\text{(확률)} \times \text{대출자가 받을 돈}$ 이기 때문에, 기대 수익률이다.
    • 이것은 $R$보다 크거나 같을 수 있지만, 정확히 $R$일 때에 가장 작은 $h$를 갖게 된다.
  • $h$ : Face value of a debt contract
    • 기대수익 $R$을 만족시키는 가장 작은 액면 금액
  • 비금전적 벌칙
    • non-pecuniary bankruptcy penalty
    • $h$에서 실제 상환액이 부족한 만큼(부족분 만큼)이 됨.
  • 즉, $h$보다 더 많이 벌었을 때에는 $h$만큼 배분하고 나머지는 기업이 가져가고, $h$보다 못 벌었을 때에는 돈을 번 만큼 배분한다.
    • “채권”(debt contract)

증명

• $\phi^* = \text{max}(h-z,0)$을 $\phi$에 대한 최적해라고 한다면
  • 기업가는 다음 식을 만족하는 $z$를 선택하려 한다.
    • $y < h$인 경우 → $0\leq z \leq y <h$
      • 기업가는 $y$만큼 상환한다. ($z=y$)
      • $y-z- \text{max}(h-z,0)=y-y- \text{max}(h-y,0)=h-y$
        • $\because 0<h-y$
      • 이 상태에서 기업가는 어떤 $z$를 선택하더라도 상관 없다.
      • $\therefore y \ (z \in [0,y])$
    • $y\geq h$인 경우
      • $0\leq z \leq h \leq y$
        • $y-z- \text{max}(h-z,0)=y-z-h-z=y-h$
        • 상수 → $h$ 선택
      • $0\leq h\leq z \leq y$
        • $y-z- \text{max}(h-z,0)=y-z- 0=y-z$
        • $h\leq z \leq y$ 에서 $y-z$를 가장 크게 하려면 가장 작은 값인 $h$ 선택.
  • $\text{arg max}_{z\in [0, y]} \ y-z-\phi^*(z) = y-z- \text{max}(h-z,0) = \begin{cases} y &\text{if } \ y<h\ h &\text{if }\ y\geq h \end{cases}$
• 기업가는 $y-z-\phi(z)$식을 통해서 자신의 이익을 극대화 할 것이다.
  • 하지만, 대출자에게 최소 수익 $R$을 제공할 수 있도록 해야 한다.
  • 이는 $z$가 일정 수준 이상이어야 함을 의미하며, 그 임계값을 $h^+$라 하자.
  • incentive compatible인 경우에 다음을 만족해야 한다.
    • incentive compatible : 각 참여자가 자신의 이익을 극대화 할 때에, 그 행동이 전체 시스템의 이익에 부합함을 의미
  • $y-h^+-\phi(h^+) \geq \text{max}_{z'\in[0,h^+]}y-z'-\phi(z')$
    • 어떤 $z$값이라도 $h^+$에서 기업가의 효용이 최대가 되도록 함.
    • 위 식을 정리 해보자
    • $y-h^+-\phi(h^+) \geq y-z'-\phi(z')$
      $$\begin{align} \phi(z') &\geq h^++\phi(h^+)-z'\\           &\geq h+\phi(h^+)-z' \ (\because h^+>h) \\           &\geq h-z' \ (\because \phi(h^+)>0) \\ &= \phi^*(z') \\ \therefore \phi(z') &\geq\phi^*(z') \end{align}$$
    • 이때 (4)는 $\phi(z')>0$ 이므로 성립한다. ($\phi^* = \text{max}(h-z,0)$)
    • 따라서, $\phi^(z)$가 제약을 만족하면서도 벌칙을 가장 작게 설정하는 방법임을 알 수 있다.*
• 비금융적인 페널티가 ‘양의 확률’이라는 사실은 최적 계약에도 돈이 많이 든다는 것을 의미