Journal of Political Economy, Vol. 91, No. 3 (Jun., 1983), pp. 401-419
https://www.jstor.org/stable/1837095
4. Optimal Contracts with Stochastic Withdrawals
지금까지는 예금인출 비율 $t$이 고정되어 있다고 가정했습니다.
그러나 현실에서는 은행이 사전에 정확히 몇 명의 예금자가 인출할지 알 수 없으며, 유동성 수요 $t$ 자체가 ***확률적(stochastic)***일 수 있습니다.
이 절의 목표는 순차적 지급 제약(sequential service constraint) 하에서 어떤 계약도 완전한 전정보 최적을 달성할 수 없음을 보이는 것입니다.
이를 통해, 민간 은행계약만으로는 불확실한 유동성 충격에 완벽 대응하기 어렵다는 점을 강조하고, 다음에 논의될 정부 예금보험의 필요성을 부각합니다.
$t$가 stochastic 하다면?
$t$가 사전에 예금자들 중 얼마가 조기인출을 필요로 할지 정확히 알 수 없고, 다만 어떤 분포로 발생한다고 하자.
$t$가 random variable이라는 의미로 $\tilde t$ 라고 하자.
$T=1$에서 인출하는 사람들에게 지급되는 금액이 $f_j$의 임의의 함수이고, $T=2$에서 인출하는 사람들에게 지급되는 금액이 $f$의 임의의 함수인 일반적인 은행 계약을 고려해보자.
그러면 앞에서 확인했던 다음의 식에 고정된 값이 아닌 실현된 값 $\tilde t=t$인 값을 사용해야 할 것이다:
$$ c_1^{2*}=c_2^{1*}=0 \\ u'(c_1^{1*})=\rho Ru'(c_2^{2*}) \\ tc_1^{1*}+\Big[(1-t)c_2^{2*}/R\Big]=1 $$
어떠한 개별 대리인도 t의 값을 파악하는 데 중요한 정보를 갖고 있지 않기 때문에, 각주 3의 논거는 여전히 최적 위험 분산이 자기선택과 일치함을 보여주며, 따라서 최적 위험 분산을 내쉬 균형으로 구현하는 어떤 메커니즘이 존재해야 함을 시사한다.
위 식으로부터, $\tilde t=t$가 실현되었을 때의 완전한 정보 하의 최적 소비 수준, 즉 $c_t^{1*}(t)$와 $c_t^{2*}(t)$를 얻는다.
최적 상태에서는, 같은 유형의 모든 대리인의 소비가 동일하며 이는 $t$의 실현값에 따라 달라진다.
이는 $t$가 주어졌을 때 유일한 최적의 자산 청산 정책을 의미한다.
이는 결국, 보험이 없는 은행 예금 계약은 최적의 위험 분산을 달성할 수 없음을 의미한다.
Proposition 1
Bank contracts (which must obey the sequential service constraint) cannot achieve optimal risk sharing when $t$ is stochastic and has a nondegenerate distribution.
$t$가 확률적이며 비퇴화(nondegenerate) 분포를 가질 때, 순차적 서비스 제약을 따라야 하는 은행 계약은 최적의 위험 분산을 달성할 수 없다.
$V_1(f_j)$와 $V_2(f)$라는 임의의 함수 형태의 보험 없는 은행 계약의 모든 균형에 대해 성립한다.
여전히 보힘이 없는 순수 요구불예금 계약은 bank run의 영향을 받으며, 어떤 bank run 균형도 최적의 위엄 분산을 달성하지 못한다.
이는 두 유형의 대리인이 동일한 소비를 받기 때문이다.
No bank contract can attain the full-information optimal risk sharing
타입 1의 대리인들만 $T=1$에서 인출할 경우, “대기 순서” $f_j$가 $[0,t]$ 구간에 균등 분포한다는 것을 기억하자.
- $T=1$에서 인출하는 사람들에게 지급되는 금액이 $t$의 실현 가능한 값에 대해 $f_j$의 일정하지 않은 함수라고 가정하는 경우.이는 즉각적으로 T = 1에서 인출할 두 타입 1 대리인이 서로 다른 소비 수준을 가질 확률이 존재함을 의미하며, 이는 제약이 없는 최적 해와 모순된다.
- 가능한 $\tilde t$ 값들에 대해, 두 개의 가능한 값 $t_1$과 $t_2$에서 $T=1$ 인출의 지급액이 다르게 나타나며, 즉, $V_1(t_1)\neq V_1(t_2)$이다.
- 가능한 모든 $\tilde t$의 실현에 대해, 구간 $f_j\in[0,t]$에 대해 $V_1(f_j)$가 상수인 경우
- budget constraint: $tc_1^{1*}+[(1-t)c_2^{2*}/R]=1$
- optimal risk sharing: $u'(c_1^{1*})=\rho Ru'(c_2^{2*})$
- $c_1^1$에 대해서 $\tilde t$의 실현과 무관하게 상수임을 의미하는데, budget constraint에 의하면, $c_2^2(t)$가 $t$에 따라 달라짐을 보여준다 (단, $r_1=1$인 경우는 최적 위험 분산과 모순된다).
따라서 최적의 위험 분담은 순차적 서비스와 일치하지 않는다.
명제 1은 전환 중단을 포함한 어떤 은행 계약도 완전한 정보 하의 최적 해에 도달할 수 없음을 의미한다.
하지만, 전환 중단은 bank run을 방지함으로써 일반적으로 보험이 없는 요구불예금 계약보다 개선된 성과를 보일 수 있다.
주요 문제는 전환이 균형 상태에서 중단될 때 발생하는데, 즉 전환 중단이 발생하는 시점이 가능한 최대 t의 실현보다 작을 때이다.
이 경우, 일부 타입 1 대리인은 인출할 수 없게 되어 이는 사후적으로 비효율적이다.
그러나 전환 중단의 위협이 뱅크런을 방지하고 비교적 높은 r₁ 값을 허용하기 때문에, 사전적으로는 바람직할 수 있다.
이 결과는 연방 예금 보험이 도입되기 전 미국에서의 전환 중단에 관한 당대의 견해와 일치한다. 비록 전환 중단이 뱅크런을 단절시키는 역할을 했지만, 이를 경험한 이들은 전환 중단을 “전혀 만족스러운 해결책으로 간주하지 않았으며, 이로 인해 통화 및 은행 개혁에 강력한 압력이 가해졌다”고 평가하였다 (Friedman and Schwartz 1963, p. 329). 그 후 가장 중요한 개혁은 연방 예금 보험이었다.