Journal of Political Economy, Vol. 91, No. 3 (Jun., 1983), pp. 401-419
https://www.jstor.org/stable/1837095
3. Improving on Demand Deposits: Suspension of Convertibility
이전까지 $t$가 확정적인 경우(not stochastic) 한 경우에 모든 정보가 주어지면 최적인 자원 분배 상태가 되는 것을 확인했다.
물론, 은행에 대한 신뢰가 급격히 상실되는 bank run인 상태에서는 예금자가 직접 자산을 보유하는 것보다 결과가 열악해지는 것도 확인했다.
이 것에 대해서 출금을 일시적으로 금지하는 suspension of convertibility을 확인해보자.
즉, 은행이 일정 수준 이상의 출금 요청이 들어올 경우 더 이상 출금을 허용하지 않는 방식이다.
만약 은행이 시점 T = 1에서 출금 요청이 일정 수준(예: 전체 예금의 일정 비율)에 도달하면 출금을 중단할 수 있는 정책이 알려져 있다고 하자.
그러면, 후기에 소비를 원하는 type 2 예금자는 조기 출금의 이득을 얻을 수 없게 된다.
따라서, type 2 예금자는 “미리 출금하면 아무런 이익도 얻지 못한다”는 인식 때문에 출금을 미루게 되고, 결과적으로 은행런(모든 예금자가 한꺼번에 출금하는 상황)을 예방할 수 있다.
이제 수식으로 살펴보자. 논문에서의 식 (2)와 (3), 여기에서는 식 (1)과 (2)를 변형할 것이다.
기존 식에서 추가 조항으로 전체 예금 중 일정 비율 $\hat f<r^{-1}_1$이상이 이미 출금된 이후에 출금하려는 경우, 해당 예금자는 $T=1$에서 아무런 돈도 받지 못한다는 조건을 도입하자.
$$
V_1(f_j,r_1)=\begin{cases}
r_1 \quad \text{if }f_j\leq\hat f\
0 \quad \ \text{if }f_j> \hat f
\end{cases}
\
V_2(f,r_1)=\max\left[R\frac{1-r_1f}{1-f}, \ R\frac{1-r_1\hat f}{1-\hat f} \right]
$$
이때, $1-\hat f r_1>0$이라고 가정한다.
즉, 일정 수준 이상의 금액이 출금되면, 출금을 일시적으로 정지하고, 남은 자산을 $T=2$ 기간에 준다는 것을 의미한다.
이 계약이 optimal allocation을 달성할 수 있음을 확인해보자.
- 가정
- $r_1=c_1^{1*}$
- $\hat f\in { t,\left[ (R-r_1)/r_1(R-1) \right] }$
- 이 계약 하에서는 유형2의 예금자는 $T=1$에 출금을 하지 않을 것이다.
- $T=1$에 무슨 일이 일어나도 이 사람들은 $T=2$에 인출하는 것이 더 이득이기 때문이다.
- 즉, 모든 $f$와 $f_j\leq f$에 대해서 $V_2(\cdot)>V_1(\cdot)$
- 반면, 유형1의 예금자는 $T=2$의 소비가 가치가 없으므로 $T=1$에서 모든 예금을 출금할 것이다.
- 따라서, $f=t$에서 Nash equilibrium이 만들어진다.
- 이 균형은 다른 예금자들이 비균형적이거나 비합리적인 행동을 하더라도 각 예금자들은 자신의 전략을 변함없이 선택할 것이므로, 안정적인 균형이다.
결국, 유형2 예금자는 미래의 높은 지급을 선호하기 때문에, 조기 출금의 이득이 없으므로 출금을 하지 않을 유인이 있기 때문에, 유형2 예금자들은 “bank run” 이 발생할 위험이 근본적으로 제거된다.
지금까지 $t$가 정해진 상수인 경우를 살펴봤고, 이제 stochastic(확률적인)경우를 살펴보자.