아무거나 공부하기 3) Value at Risk(VaR), Expected Shortfall(ES)

FRM Part 1을 인강을 들으면서... 'Value at Risk(VaR)', 'Expected Shortfall(ES)' 이 두개에 대해서 배웠었다.
하지만, ES에 대해서 증명은 해주지 않으셨었다.
그래서... 직접 해보고자 해서 전에 증명을 해뒀었다. 그래서 나도 되짚어 보면서, 게시글을 만들어보고자 한다.

1. 일단 VaR에 대해서 조금 알아보도록 하자.
VaR이란? 특정 기간동안 일정 수준의 신뢰구간에서 예상되는 최대 손실 금액

수식으로 표현해보자.
$$ \text{VaR} = \text{inf}\{ x; F_\text{x}(x) \leq \alpha \% \} $$

 

 

• $\alpha = 1-x$
• $\alpha$ : Significance Level
• $x$ : Confidence Level
• $F_ \text{x} (x)$ : 확률변수 X의 확률분포함수(PDF; Probabiltiy Distribution Function)
• inf : min처럼 생각하자. 최솟값을 의미한다.

 

그러니까... $\alpha \%$를 초과하는 부분에서 최솟값이다.
예를 들어서... $\alpha = 2.2 \%$라고 한다면 위 그림에서는 최솟값이 $\mu - 2\sigma$이다. 이 값이 VaR이다.

정규분포라고 한다면...
$$ \text{Pr}(\text{X} \leq x) = \alpha \% -> \text{Pr}(\text{Z} \leq \frac{x-\mu}{\sigma}) = \alpha \%  $$
확률의 경우 위와 같이 식이 만들어 지니까...
$$ \therefore \text{VaR}_{\alpha \%}(\text{X}) = x = \mu+z\sigma$$
이렇게 된다.(Schweser와 표기를 동일하게 하였다.)

2. Expected Shortfall은 어떻게 식이 만들어질까?
일단 ES가 뭘까.
"Expected Shortfall(ES) is the expected loss given that the portfolio return already lies below the pre-specified worst case quantile return"(Schweser에서 가져온건데... 괜찮겠지?)
conditional VaR, Expected Tail Loss라고도 한다.

색칠되어 있는 부분이 Expected Shortfall이다.

단순하게, 떨어지는 부분을 적분한다고 생각하자. -> 적분한다는 것은 전부 더한다는 뜻이라서 단순히 하락에 대한 기댓값이라고 생각하면 된다.(아니면... 평균 하락값?)
자. 정규분포라고 가정하자. 정규분포 식은 다음과 같다.
$$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

ES는 일단 'VaR'보다 떨어진다고 가정하고 시작한다.
'떨어진다면, 평균적으로 얼만큼 떨어질 것인가?'라고 생각하자.
그러면, ES의 식이 다음과 같이 된다.

$$ES(\text{X}) = \int^{\text{VaR}_{\alpha\%}(\text{X})}_{-\infty} x \times \frac{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} }{\text{Pr}(\text{X}<\text{VaR}_{\alpha \%}(\text{X}))} dx$$

평균값을 구할 때 '변수 X 확률'을 이용한다는 사실은 알고 있을 것이다.
그래서 위식에서 $\times$(곱하기) 앞에 있는 $x$는 변수, 뒤에 있는 저 복잡한 친구는 확률이다.
왜 저렇게 복잡한 친구가 확률일까?

이것은 ES의 정의를 다시 되짚어보면 당연하다.
"portfolio return already lies below the pre-specified worst case quantile return"
그렇다. 이미 'VaR을 초과한 상황 중에서'의 확률을 구해야 하기 때문에 Conditional Probability가 된다.

좋아. 이제 적분을 해보자.
적분을 시작하기 전에, $ \text{Pr}(\text{X}<\text{VaR}_{\alpha \%}(\text{X})) $ 이 친구는 상수라는 사실을 알 수 있다.
왜냐면... $ \alpha \% $보다 떨어질 확률을 말하는 거니까. 그냥 상수다. 그것도...
$$ \text{Pr}(\text{X}<\text{VaR}_{\alpha \%}(\text{X}))  = \text{Pr}(\text{Z}< \frac{\text{VaR}_{\alpha \%}(\text{X})-\mu}{\sigma}) = \alpha \% $$
이렇게 된다. 당연하지. $\text{VaR}$을 $\alpha \%$라고 해놓고서 $\alpha \%$를 초과할 확률을 물어봤으니...

이제 본격적인 적분을 해보자. 방금 확인한 상수를 빼면 다음과 같이 된다.

$$ \int^{\text{VaR}_{\alpha\%}(\text{X})}_{-\infty}  \frac{x}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx $$

좋아. 깔끔하다.
이번에는 exponential위에 있는 친구가 너무 거슬리다. $ \frac{x-\mu}{\sigma} = z $이렇게 치환해보자.
$$ \frac{x-\mu}{\sigma} = z \longrightarrow \frac{x}{\sigma}-\frac{\mu}{\sigma}=z \longrightarrow \frac{1}{\sigma}dx=dz \longrightarrow dx=\sigma dz$$
이번엔 적분 하단과 상단이 어떻게 변하는지도 확인해야겠다.
$$-\infty \longrightarrow \frac{-\infty-\mu}{\sigma}=-\infty$$
$$\text{VaR}_{\alpha \%}(\text{X}) \longrightarrow \frac{\text{VaR}_{\alpha \%}(\text{X})-\mu}{\sigma}=z$$
그렇다. 치환하면 적분 하단과 상단 모두 매우 깔끔하게 변하는 것을 알수 있다.

그런데, 이렇게 바꾼게 무슨 의미가 있을까?
다시 잘 생각해보면, $ \frac{x-\mu}{\sigma} = z $는 '표준정규분포'이다. 평균이 0이고, 표준편차가 1인.

그러면 다음과 같이 식이 변한다.

$$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{z}_{-\infty}  (\mu+\sigma z)e^{-\frac{z^2}{2}} dz =  \frac{1}{\sqrt{2\pi}} (\int^{z}_{-\infty}  \mu e^{-\frac{z^2}{2}} dz + \sigma  \int^{z}_{-\infty}  z e^{-\frac{z^2}{2}} dz)$$

좋아. 이제 적분만 하면 된다.

일단 $ \int^{z}_{-\infty}  \mu e^{-\frac{z^2}{2}} dz $ 이 친구부터 적분해보자.
이 친구를 약간 수정해보면 아주 재미있는 모습이 나온다.

$$ \mu \sqrt{2 \pi} \int^{z}_{-\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz $$

그렇다. 적분 안에 있는 모습이 표준정규분포이다. 이걸 시각화 하면...

이런식으로 된다.

저기 초록색과 빨간색이 겹치는 부분의 넓이를 말하는 것이다. 값이 뭐냐면... 당연하게도 그냥 $\alpha$가 나온다.
(조금만 생각해보면 당연하다. 치환을 어떻게 했는지 생각해보자.)
$$ \therefore \int^{z}_{-\infty}  \mu e^{-\frac{z^2}{2}} dz  = \mu \sigma\sqrt{2\pi} $$

이번에는 $ \sigma  \int^{z}_{-\infty}  z e^{-\frac{z^2}{2}} dz $를 적분해보자.
$$ \sigma  \int^{z}_{-\infty}  z e^{-\frac{z^2}{2}} dz = \sigma \large[ -e^{-z^2/2} \large]^z_{-\infty} = -\sigma e^{-z^2/2}$$

다 됐다. 그러면...
$$ \text{ES} = \frac{1}{\alpha \sqrt{2\pi}} (\mu\alpha\sqrt{2\pi}-\sigma e^{-z^2/2}) = \mu - \sigma \frac{e^{-z^2/2}}{\alpha\sqrt{2\pi}} = \mu - \sigma \frac{e^{-z^2/2}}{(1-x)\sqrt{2\pi}} $$
끝!

설명을 위해서 풀어서 쓰다보니 길어졌지만, 핵심적인 부분은 매우 짧은 것을 확인할 수 있다.
VaR과 Expected Shortfall를 이해하는데에 약간이나마 도움이 되었으면 한다.

부록1. 왜 증명 결과는 '-'인데, Schweser에는 '+'라고 쓰여져 있을까?
어차피 $\mu$를 중심으로 대칭이기 때문이다.
VaR을 양수로 표시하는 것과 동일한 이유라고 생각하면 될 것 같다.
실제로, 적분범위를 $(-\infty, \text{VaR}_{\alpha\%}(\text{X})) \longrightarrow (\text{VaR}_{\alpha\%}(\text{X}), \infty) $ 이렇게 바꾸면 '+'로 바뀐다.

부록2. 만약 궁금한 이론이나, 설명해줬으면 하는 이론이나, 증명해줬으면 하는게 있으면 댓글로 말해주면 한번 시도 해 보겠다.(장담은 못한다...)