아무거나 공부하기 1) 화폐시장(Money Market) 수익률들

* 이 포스팅은 PC에 최적화 되어있습니다.(수식이 답이 없어요)

** 확인해보니 태블릿은 괜찮네요

 

작년에, 학교에서 투자론을 공부하다가 은행 할인율, 채권등가 수익률, 실효 연수익률....

이렇게 뭔가 이상한 수익률 계산법을 접하게 되었다.

수업에서 들을 때는 그냥 넘어갔지만, 시험 공부하면서 곰곰히 생각해보니 계산을 쉽게 하는 과정에서 자연스럽게 도출되는 공식인 사실을 알게 되었다.

 

이미 아는 사람도 많겠지만, 모르는 사람도 있을 것 같아 소개해보고자 한다.

 

만약, 어떤 채권(할인채)가 있다고 하자.

이것의 Face value를 11000원, 현재 가격을 10000원이라고 하자.

이 채권을 만기까지 가지고 있는다면, 1000원의 이득을 보게 되며, 수익률은 다음과 같다.

$$ \frac{11000-10000}{10000} \times 100 = 10\% $$

(보통 Face value가 10000원이지만, 계산상 편의를 위해 이렇게 했다.)

만약, 이 채권에 다시 투자한다면 아래와 같이 된다.

$$ 10000 \times (1+0.1) \times (1+0.1) = 12100 \text{원}$$

또 투자하면?

$$ 10000\times(1+0.1)\times(1+0.1)\times(1+0.1) = 10000\times(1+0.1)^3 = 13310 \text{원} $$

13310원이 된다.

 

만약 이 채권이 하루짜리 채권이고, 1년동안 투자하는 경우에는? $ (1+0.1)^{365} $ 를 곱해주면 될 것이다.

만약 90일이 만기라면, $ (1+0.1)^{365/90} $를 곱해주면 될 것이다.

 

따라서 실효 연수익률은 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$ r = \left(1+\frac{FV-PV}{PV} \right)^{365/n} - 1 = \left(\frac{FV}{PV} \right)^{365/n} - 1 $$

PV = Present Value : 현재 가격

FV = Face Value : 액면 가격

 

이제 이것을 Taylor 전개를 하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ \begin{align*} r &= 1 + \frac{FV-PV}{PV} \times \frac{365}{n} - 1\\ &= \frac{FV-PV}{PV} \times \frac{365}{n} \end{align*} $$

이때의 $r$을 Annualized Investment rate, Bond Equivalent Yield(채권등가 수익률) 이라고 한다.

따라서 이것은 가장 정확한 수익률인 실효 연수익률을 Taylor 전개를 통해 조금 더 계산하기 쉽도록 바꾼 것이다.

 

이것을 조금 더 근사 해보자.

컴퓨터가 없었던 옛날에는 이 채권등가 수익률도 계산하기 힘들어 했다. 따라서, 이를 조금 더 계산하기 쉽도록 1년을 365일이 아니라 360일로, 분모를 현재 가격이 아니라 액면 가격으로 나누는 것으로 바꾸었다. 이를 수식으로 표현하면 아래와 같다.

 

$$r = \frac{FV-PV}{FV} \times \frac{360}{n}$$

 

진짜 계산하기 쉬워졌다! 손으로 계산 쌉가능.

이를 은행 할인율, annualized discount rate라고 한다.

 

이렇게 정확한 계산값을 Taylor 전개와 단순화 하는 과정을 거치다보니 은행할인율 까지 도출됐다!

이 수익률들을 무작정 외우려는 사람들에게 이게 도움이 되었으면!

 

P.S. 블로그에 Latex 처음 써보는데, 익숙하기도 하고 어색하기도 하고....