Merton Model

Merton model은 내가 FRM Part2를 공부하면서 진심으로 '미쳤다. 개쩐다'라고 생각했던 모델이었다.
"이렇게 생각할 수도 있구나!!"라는 깨우침을 준 모델이었고, 너무 재미있게 공부했던 기억이 있다.
(사실, 매우 간단한 모델이다.)

Merton. 기억나는 것이 있는지 모르겠다.
흔히, '옵션의 가격 결정'(맞나) 아무튼 이거 할 때 배우는 매우 핵심적인 공식이 있다.
Black-Scholes model이다.
'이게 뭐 어쩌라는거임?'이라고 생각할 수 있지만...

Black-Scholes-Merton model(이하 BS) 이라고도 한다.
나무위키에 따르면, Fischer Black and Myron Scholes 이렇게 두 사람이 논문을 초기에 만들었지만, Merton이 참여했다고 한다. 그래서 Merton 이름도 붙이는가 싶다.
(시간이 괜찮다면, 논문을 직접 읽어볼까 생각하고 있다.)
    -> The Journal of Political Economy, 81(3), (1973), 637-654.

따라서, Merton model을 시작하기 전에, BS model을 한번 적어보자.(European option)
$ c = S\Phi(d_1) - Ke^{-rT}\Phi(d_2) $
$ p = Ke^{-rT}\Phi(-d_2) - S\Phi(-d_1)  $
$ d_1 = [\text{ln}(S/K)+(r+\sigma^2/2)T)]/[\sigma\sqrt{T}] $
$ d_2 = [\text{ln}(S/K)+(r-\sigma^2/2)T)]/[\sigma\sqrt{T}] $

• $\Phi(x)$는 표준정규분포의 누적분포 함수,
• $K$는 행사가격
• $S$는 현재 시점의 기초자산의 가격
• $r$은 무위험 이자율
• $\sigma$는 기초자산의 변동성

BS 모델은 그냥 이렇게 공식만 나열하고 끝내는 것으로 하자. 이제 Merton 모형에 대해서 살펴보자.
Merton 모형은 부채가 있는 회사의 부도 확률이 어떻게 될 것인지에 대한 것이라고 생각하면 된다.
이걸 어떻게 알아낼까?

Merton Model의 가정

• 배당이 없다고 가정
• 금융시장이 완벽하다 가정
• 세금, 거래비용 등 방해되는 것들 없다고 가정
• 부채 : Zero Coupon Bond, 만기 T, 액면가 F인 1개의 채권만 있다고 가정

주식 소유자(Equity holder)와 채권 소유자(Bond holder)의 채권이 만기일 때의 수익 분포를 한번 그려보자.

• 기업 자산 가치의 현재 가치 : $V_0$
• 현재 주가 : $S_0$
• 부채의 만기 시점에서의 가치 : $F$
• 만기까지의 기간 (년) : $T$
• 무위험 이자율 : $r$
• 기업 자산 가치의 변동성 : $\sigma$
• $y$ 축 : 이해관계자의 이익
• $x$ 축 : 만기 때의 기업 가치 $\leftarrow$ 미래의 주식 가격

자산 가치가 행사가격이 될 때까지의 기업 가치는 전부 'Bond holder'에게 돌아간다.(최대 수익금이 행사가격 $F$이다.)
하지만, 이 때의 기업 가치는 모두 'Equity holder'에게 향한다.
즉, Equity holder -> Long Call Option, Bond holder -> Short Put option이다.

만기일 때의 Payoff:

• Equity holder : $ S_T =c_T=\text{max}(V_T-F,0) $
• Bond(Debt) holder : $ D_T =F-p_T=F-\text{max}(F-V_T,0) $
• 아래 그림을 보면 더 이해가 빠를 것 같다.

출처 : https://ifrogs.org/

기업은 언제 부도인가? $\rightarrow$ 돈을 모두 갚지 못했을 경우. 그러니까, $V_T < F$일 때에 부도이다.

Equity holder는 call option의 형태를 띄기 때문에, 다음과 같이 쓸 수 있다.
$ c = V_0\Phi(d_1) - Fe^{-rT}\Phi(d_2) $
$ d_1 = [\text{ln}(V/F)+(r+\sigma_V^2/2)T)]/[\sigma_V\sqrt{T}] $
$ d_2 = [\text{ln}(V/F)+(r-\sigma_V^2/2)T)]/[\sigma_V\sqrt{T}] $

이것은 잘 보면 자산이 risk-free로 불어난다는 가정을 한다.
이를 위험 중립이라고 한다.
하지만, 회사에 대해서 평가할 때에 누가 risk-free를 사용하겠는가?
그래서 ROA(Return on Assets, 자산 수익률)을 사용한다.
그러니까, 주식시장에서 기업을 평가하는 것을 받아들이고, 기업의 자산 가치가 ROA만큼 성장한다고 가정한다.

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그렇다면... 부채를 못 갚을 확률(Default)은 어떻게 될까?
그러니까, 기업의 전체 자산 가치가 Debt의 Face Value보다 작을 확률에 대해서 구하면 되지 않을까?

$$\text{Pr}(V_T<F)=\text{Pr}(\text{OTM})$$

그러니까, 기업의 전체 자산 가치가 Debt의 Face Value보다 작을 확률 이라는 것은 equity가 call option이라고 한다면 이 옵션의 'Out of Money'의 확률에 대해서 알면 될 것이다.

$$\text{Pr}(V_T<F) = \text{Pr}(\text{ln}(V_T) < \text{ln}(F))$$

위 식은 ln함수가 단조 증가 함수이기 때문에 성립한다.(뭔 소리인가 싶으면 그런갑다 하자)

Black-Scholes 모델에서 기초자산 가격은 로그 정규분포를 따른다. 다음과 같이 말이다.

$$ \text{ln}(V_T) = N \large[ \text{ln}(V_0) + (r-\frac{\sigma^2}{2}T), \sigma^2 T \large] $$

이 식을 $Z$를 표준정규분포$(0, 1^2)$라고 가정한다면, 다음과 같이 표현할 수 있다.

$ \text{ln}(V_T) = \text{ln}(V_0) + (r-\frac{\sigma^2}{2})T +\sigma\sqrt{T}Z $

이제 $ \text{ln}(V_T) - \text{ln}(F) $를 계산해보자.

$ \text{ln}(V_T) - \text{ln}(F) = \text{ln}(V_0) + (r-\frac{\sigma^2}{2})T +\sigma\sqrt{T}Z - \text{ln}(F) $

$ \text{ln}(V_T) - \text{ln}(F) = \text{ln}(\frac{V_0}{F}) +(r-\frac{\sigma^2}{2})T + \sigma \sqrt{T} Z $

$ \therefore \, \text{Pr}(V_T<F) = \text{Pr} \left( \text{ln}(V_T)<\text{ln}(F)) = \text{Pr}(\text{ln}(V_T) - \text{ln}(F)<0 \right) $

$\qquad \qquad \qquad \,\, = \text{Pr} \left( \text{ln}(\frac{V_0}{F})+(r-\frac{\sigma^2}{2})T + \sigma \sqrt{T}Z < 0 \right)$

$ \qquad \qquad \qquad \,\,= \text{Pr} \left( \sigma \sqrt{T} Z < \text{ln}(\frac{F}{V_0})-(r-\frac{\sigma^2}{2})T \right) $

$ \qquad \qquad \qquad \,\,= \text{Pr} \left( Z < \left[ \text{ln}(\frac{F}{V_0})-(r-\frac{\sigma^2}{2})T \right] \bigg/ (\sigma \sqrt{T}) \right) $

$ \qquad \qquad \qquad \,\,= \text{Pr} (Z<-d_2) = N(-d_2)$

그래서, $d_2$를 Distance to Default(DD)라고도 한다.

그럼 DD를 해석해보자. 무슨 의미를 가지고 있을까?

$d_2 = \frac{\text{ln}(V_T)+(\mu - \sigma^2/2)(T-t) - \text{ln}(F)}{\sigma\sqrt{T-t}}$

• $ \text{ln}(V_T)+(\mu - \sigma^2/2)(T-t)  $ : 미래예상 기업가치
• $ \text{ln}(F) $ : 부채 상환 예정액
• $ \sigma\sqrt{T-t} $ : 기업 가치 변동성

... 생각해보면 당연한 말이다.

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자. 이렇게 우리는 Debt와 Equity의 가치에 대해서 옵션으로 해석하고 Default가 되는 확률을 구하는 것을 완료했다.
이때, 우리가 생각해 볼 만한 것이 있다.
자산 = 부채 + 자본
이라는 사실이다.

자산 = $V_0$, 부채 = $D_0=Fe^{-rT}-p_0$, 자본 = $c_0$라고 쓸 수 있다.
이때, 0은 현재라는 의미이다.
$$V_0 = D_0+E_0 = Fe^{-rT}-p_0+c_0$$
$$V_0 - p_0= Fe^{-rT}+c_0$$
두 번째 식...이게 뭘까? $V_0$를 기초자산이라고 한다면 put-call parity다.
즉, $V_0$는 call option의 기초자산. 시장가치라고 할 수 있다.

...미쳤다. 엄청난 모델이다.

좋아. 기업 가치가 bond holder에게 중요하다면, 기업 가치의 변동성은 어떻게 구할 수 있을까?

일단 주가의 변동성부터 확인해보자.
$$\sigma_E = \text{Var}(\frac{\Delta E}{E})$$
그러면... $\Delta E$를 대체할 방법이 있을까?

$$ \frac{\partial E}{\partial A} \approx \frac{\Delta E}{\Delta A} =N(d_1)  $$

왜 이 식이 성립할까?
우리가 옵션을 배울 때를 떠올려보면...

$$\Delta = \frac{\text{call option의 변화량}}{\text{기초 자산의 변화량}} = \frac{\Delta E}{\Delta A} = N(d_1)$$

이라는 사실을 배웠다.
그래서...$\Delta E = \Delta A N(d_1)$이다.

$$\therefore \sigma_E = \text{Var}(\frac{\Delta E}{E})  = \text{Var}(N(d_1) \frac{\Delta A}{A} \frac{A}{E}) = (N(d_1)\frac{A}{E})^2 \text{Var}(\frac{\Delta A}{A}) = (N(d_1)\frac{A}{E})^2 \sigma_A^2$$

이렇게 주가의 변동성으로 기업가치의 변동성을 계산할 수 있게 되었다...!

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그런데...$ \text{Var}(N(d_1) \frac{\Delta A}{A} \frac{A}{E}) = (N(d_1)\frac{A}{E})^2 \text{Var}(\frac{\Delta A}{A}) $ 이게 왜 성립할까?
이것은 $\Delta$가 변화량을 의미하기 때문에 사실 $\Delta A$를 제외하면 다 밖으로 뺄 수 있다.
하지만, $ \text{Var} (\frac{\Delta A}{A}) = \sigma_A^2$이 사실을 이용하기 위해서 일부러 이렇게 전개 한 것이다.

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...이 정도면 된 것같다.
더 자세한 내용은 생략 하는 것이 정신적으로 이로워 보인다.