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Merton Model

지나가는물리석사학생 2024. 11. 28. 00:55
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Merton model은 내가 FRM Part2를 공부하면서 진심으로 '미쳤다. 개쩐다'라고 생각했던 모델이었다.
"이렇게 생각할 수도 있구나!!"라는 깨우침을 준 모델이었고, 너무 재미있게 공부했던 기억이 있다.
(사실, 매우 간단한 모델이다.)

Merton. 기억나는 것이 있는지 모르겠다.
흔히, '옵션의 가격 결정'(맞나) 아무튼 이거 할 때 배우는 매우 핵심적인 공식이 있다.
Black-Scholes model이다.
'이게 뭐 어쩌라는거임?'이라고 생각할 수 있지만...

Black-Scholes-Merton model(이하 BS) 이라고도 한다.
나무위키에 따르면, Fischer Black and Myron Scholes 이렇게 두 사람이 논문을 초기에 만들었지만, Merton이 참여했다고 한다. 그래서 Merton 이름도 붙이는가 싶다.
(시간이 괜찮다면, 논문을 직접 읽어볼까 생각하고 있다.)
    -> The Journal of Political Economy, 81(3), (1973), 637-654.

따라서, Merton model을 시작하기 전에, BS model을 한번 적어보자.(European option)
c=SΦ(d1)KerTΦ(d2)
p=KerTΦ(d2)SΦ(d1)
d1=[ln(S/K)+(r+σ2/2)T)]/[σT]
d2=[ln(S/K)+(rσ2/2)T)]/[σT]

  • Φ(x)는 표준정규분포의 누적분포 함수,
  • K는 행사가격
  • S는 현재 시점의 기초자산의 가격
  • r은 무위험 이자율
  • σ는 기초자산의 변동성

BS 모델은 그냥 이렇게 공식만 나열하고 끝내는 것으로 하자. 이제 Merton 모형에 대해서 살펴보자.
Merton 모형은 부채가 있는 회사의 부도 확률이 어떻게 될 것인지에 대한 것이라고 생각하면 된다.
이걸 어떻게 알아낼까?

Merton Model의 가정

  • 배당이 없다고 가정
  • 금융시장이 완벽하다 가정
  • 세금, 거래비용 등 방해되는 것들 없다고 가정
  • 부채 : Zero Coupon Bond, 만기 T, 액면가 F인 1개의 채권만 있다고 가정

주식 소유자(Equity holder)와 채권 소유자(Bond holder)의 채권이 만기일 때의 수익 분포를 한번 그려보자.

  • 기업 자산 가치의 현재 가치 : V0
  • 현재 주가 : S0
  • 부채의 만기 시점에서의 가치 : F
  • 만기까지의 기간 (년) : T
  • 무위험 이자율 : r
  • 기업 자산 가치의 변동성 : σ
  • y 축 : 이해관계자의 이익
  • x 축 : 만기 때의 기업 가치 미래의 주식 가격

자산 가치가 행사가격이 될 때까지의 기업 가치는 전부 'Bond holder'에게 돌아간다.(최대 수익금이 행사가격 F이다.)
하지만, 이 때의 기업 가치는 모두 'Equity holder'에게 향한다.
즉, Equity holder -> Long Call Option, Bond holder -> Short Put option이다.

만기일 때의 Payoff:

  • Equity holder : ST=cT=max(VTF,0)
  • Bond(Debt) holder : DT=FpT=Fmax(FVT,0)
  • 아래 그림을 보면 더 이해가 빠를 것 같다.

출처 : https://ifrogs.org/

기업은 언제 부도인가? 돈을 모두 갚지 못했을 경우. 그러니까, VT<F일 때에 부도이다.

Equity holder는 call option의 형태를 띄기 때문에, 다음과 같이 쓸 수 있다.
c=V0Φ(d1)FerTΦ(d2)
d1=[ln(V/F)+(r+σ2V/2)T)]/[σVT]
d2=[ln(V/F)+(rσ2V/2)T)]/[σVT]

이것은 잘 보면 자산이 risk-free로 불어난다는 가정을 한다.
이를 위험 중립이라고 한다.
하지만, 회사에 대해서 평가할 때에 누가 risk-free를 사용하겠는가?
그래서 ROA(Return on Assets, 자산 수익률)을 사용한다.
그러니까, 주식시장에서 기업을 평가하는 것을 받아들이고, 기업의 자산 가치가 ROA만큼 성장한다고 가정한다.


그렇다면... 부채를 못 갚을 확률(Default)은 어떻게 될까?
그러니까, 기업의 전체 자산 가치가 Debt의 Face Value보다 작을 확률에 대해서 구하면 되지 않을까?

Pr(VT<F)=Pr(OTM)

그러니까, 기업의 전체 자산 가치가 Debt의 Face Value보다 작을 확률 이라는 것은 equity가 call option이라고 한다면 이 옵션의 'Out of Money'의 확률에 대해서 알면 될 것이다.

Pr(VT<F)=Pr(ln(VT)<ln(F))

위 식은 ln함수가 단조 증가 함수이기 때문에 성립한다.(뭔 소리인가 싶으면 그런갑다 하자)

Black-Scholes 모델에서 기초자산 가격은 로그 정규분포를 따른다. 다음과 같이 말이다.

ln(VT)=N[ln(V0)+(rσ22T),σ2T]

이 식을 Z를 표준정규분포(0,12)라고 가정한다면, 다음과 같이 표현할 수 있다.

ln(VT)=ln(V0)+(rσ22)T+σTZ

이제 ln(VT)ln(F)를 계산해보자.

ln(VT)ln(F)=ln(V0)+(rσ22)T+σTZln(F)

ln(VT)ln(F)=ln(V0F)+(rσ22)T+σTZ

Pr(VT<F)=Pr(ln(VT)<ln(F))=Pr(ln(VT)ln(F)<0)

=Pr(ln(V0F)+(rσ22)T+σTZ<0)

=Pr(σTZ<ln(FV0)(rσ22)T)

=Pr(Z<[ln(FV0)(rσ22)T]/(σT))

=Pr(Z<d2)=N(d2)

그래서, d2를 Distance to Default(DD)라고도 한다.

그럼 DD를 해석해보자. 무슨 의미를 가지고 있을까?

d2=ln(VT)+(μσ2/2)(Tt)ln(F)σTt

  • ln(VT)+(μσ2/2)(Tt) : 미래예상 기업가치
  • ln(F) : 부채 상환 예정액
  • σTt : 기업 가치 변동성

... 생각해보면 당연한 말이다.


자. 이렇게 우리는 Debt와 Equity의 가치에 대해서 옵션으로 해석하고 Default가 되는 확률을 구하는 것을 완료했다.
이때, 우리가 생각해 볼 만한 것이 있다.
자산 = 부채 + 자본
이라는 사실이다.

자산 = V0, 부채 = D0=FerTp0, 자본 = c0라고 쓸 수 있다.
이때, 0은 현재라는 의미이다.
V0=D0+E0=FerTp0+c0
V0p0=FerT+c0
두 번째 식...이게 뭘까? V0를 기초자산이라고 한다면 put-call parity다.
즉, V0는 call option의 기초자산. 시장가치라고 할 수 있다.

...미쳤다. 엄청난 모델이다.

좋아. 기업 가치가 bond holder에게 중요하다면, 기업 가치의 변동성은 어떻게 구할 수 있을까?

일단 주가의 변동성부터 확인해보자.
σE=Var(ΔEE)
그러면... ΔE를 대체할 방법이 있을까?

EAΔEΔA=N(d1)

왜 이 식이 성립할까?
우리가 옵션을 배울 때를 떠올려보면...

Δ=call option의 변화량기초 자산의 변화량=ΔEΔA=N(d1)

이라는 사실을 배웠다.
그래서...ΔE=ΔAN(d1)이다.

σE=Var(ΔEE)=Var(N(d1)ΔAAAE)=(N(d1)AE)2Var(ΔAA)=(N(d1)AE)2σ2A

이렇게 주가의 변동성으로 기업가치의 변동성을 계산할 수 있게 되었다...!


그런데...Var(N(d1)ΔAAAE)=(N(d1)AE)2Var(ΔAA) 이게 왜 성립할까?
이것은 Δ가 변화량을 의미하기 때문에 사실 ΔA를 제외하면 다 밖으로 뺄 수 있다.
하지만, Var(ΔAA)=σ2A이 사실을 이용하기 위해서 일부러 이렇게 전개 한 것이다.


...이 정도면 된 것같다.
더 자세한 내용은 생략 하는 것이 정신적으로 이로워 보인다.

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