Adjusting VaR for Position Liquidity

이 부분도 증명을 강사님이 안해주셔서 직접 해볼까 한다.

2024 Schweser 기준으로 Reading 65 Liquidity and Leverage 에 해당하는 단원의 module 65.3: Funding and Transactions, Liquidity Risk, and Transactions Cost에 있는 부분이다.

Adjusting VaR for Position Liquidty

이게 무슨 말일까.
금융기관에서 들고 있는 어떤 자산에 대해서 Value at Risk(이하 VaR)를 계산해야 할 필요성을 느낄 때 추가적으로 고려해야 하는 상황이 있다.
이는 위험을 느껴서 liquidate(청산)을 하는 경우이다.

즉, 여러번 나누어서 청산을 하는 과정을 VaR에 반영하지 않는다면, 그 VaR은 위험을 과대평가 한다라고 생각할 수 있다.
이것을 Liquidity-adjusted Value at Risk(LVaR)이라고 하는 것 같더라.

만약, 해당하는 자산을 모두 청산하는 것에 걸리는 시간을 $T$라고 하고, VaR은 1일 VaR이라고 하자.
만약 청산하는 것을 고려하지 않는다면, 다음과 같이 계산할 수 있다.

$$\text{VaR} \times \sqrt{T}$$

결론부터 말하자면, 청산하는 과정을 반영한다면 다음의 식이 도출된다.

$$\text{VaR} \times \sqrt{\frac{(1+T)(1+2T)}{6T}}$$

이제 이 식이 왜 이렇게 나왔는지 확인해보자.
사실, 간단하게 도출해낼 수 있다.

가정을 먼저 하자면, T 기간동안 동일한 비율의 position을 청산하고, 각 구간에서의 VaR을 동일하다고 가정하자.

그러면, 다음과 같이 각 구간에서의 VaR값이 됨을 확인할 수 있다.

$\frac{T}{T} \text{VaR}$

$\frac{T-1}{T} \text{VaR}$

$\frac{T-2}{T} \text{VaR}$

$\frac{T-3}{T} \text{VaR}$

...

$\frac{3}{T} \text{VaR}$

$\frac{2}{T} \text{VaR}$

$\frac{1}{T} \text{VaR}$

그렇다면, 이 값을 어떻게 합칠까? 1일 VaR이 $T$일이 지속될 경우 $\text{VaR}\sqrt{T}$가 유도되는 것을 그대로 따라하면 된다.

$$\text{LVaR} = \sqrt{ \left( \frac{T}{T} \right)^2 \text{VaR}^2 + \left( \frac{T-1}{T} \right)^2 \text{VaR}^2 + ... + \left( \frac{1}{T} \right)^2 \text{VaR}^2 }$$
$$\text{LVaR} = \frac{1}{T}\text{VaR} \sqrt{T^2 + (T-1)^2 + (T-2)^2 + ... + 2^2 + 1^2}$$
$$\text{LVaR} = \frac{1}{T}\text{VaR} \sqrt{ \Sigma^T_{i=1} i^2 } = \frac{1}{T} \text{VaR} \sqrt{\frac{1}{6} T(T+1)(2T+1)}$$
$$\therefore \text{LVar} = \text{VaR} \sqrt{\frac{(T+1)(2T+1)}{6T}}$$

끝! 단순하다.